O hangerő a gömbésugarának mérése alapján számítják ki. A gömb egy geometriai alakzat, amelynek három dimenziója van. A gömb fő elemei a sugara és az átmérő. A gömb térfogatát egy speciális képlet segítségével számítják ki, amelyet az alábbiakban mutatunk be. A térfogaton kívül kiszámolhatjuk a gömb felületét is.
Olvasd el te is: Hogyan számoljuk ki a henger térfogatát
A gömb térfogatának összefoglalása
- A mindennapi életünkben számos tárgy gömb alakú, például egy futballlabda.
- A gömb fő elemei a sugara és az átmérője.
- A gömb térfogatának kiszámításához a következő képletet használjuk:
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
- Vannak más fontos képletek is, például a gömb területére vonatkozó képlet: \(A=4\pi r^2\).
Videó lecke a gömb hangerőről
Mi az a gömb?
A gömb egyetlen háromdimenziós alakzat, amelyet a következőképpen határoznak meg háromdimenziós alakzat, amelynek pontjai egyenlő távolságra vannak a középpontjától. Ez az egyik legszimmetrikusabb forma, és sokféleképpen jelen van világunkban. Érzékelhetjük a gömb jelenlétét a természetben, az emberi testben, a bolygók tanulmányozásában, többek között mindennapi életünkben.
Egy gömb geometriai szilárdtest. A gömbök példái a biliárd, a futball és a kosárlabda. Minden olyan pontból áll, amelyek állandó távolságra vannak a gömb középpontjának nevezett központi ponttól. És ezt az állandó távolságot a gömb sugarának nevezik.
Gömb elemek
A gömbnek van néhány érdekes része:
- Központ: ahogy a neve is sugallja, ez az a pont, amely a gömb közepén van.
- Átmérő: egy egyenes szakasz, amely a gömb két ellentétes pontját köti össze, és áthalad a középponton.
- Sugár: szegmens, amely a középponttól a felület bármely pontjáig tart.
- Felület: a gömb külső rétege.
- Belül: tér a gömbön belül.
Hogyan számolja ki a gömb térfogatát?
A gömb térfogatát kiszámítjuk képlet szerint:
\(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)
- V: a gömb térfogata.
- V: a gömb sugara.
- π: egy állandó.
Oállandó érték πleggyakrabban használt körülbelül 3,14, de megfontolhatjuk π hozzávetőlegesen 3, vagy hozzávetőlegesen 3,1, vagy akár 3,1415, attól függően, hogy hány tizedesjegyet akarunk figyelembe venni, mivel a π irracionális szám, és az irracionális számoknak végtelen tizedesjegyei vannak.
- Példa:
Egy gömb sugara 6 cm. Mekkora ennek a gömbnek a térfogata, ha ezt figyelembe vesszük π=3?
Felbontás:
A gömb térfogatának kiszámításával a következőket kapjuk:
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
\(V=\frac{4\cdot3\cdot6^3}{3}\)
\(V=\frac{12\cdot216}{3}\)
\(V=\frac{2592}{3}\)
\(V=864\ cm^3\)
Tehát ennek a gömbnek a térfogata 864 cm³.
Egy másik gömbképlet
A gömb térfogatának kiszámításához bemutatott képlet mellett van még egy fontos képlet, amely a felületi képlet. A gömb felületének kiszámításához a képlet a következő:
\(A=4\pi r^2\)
A A gömb felszíne nem más, mint a gömböt körülvevő régió. Például egy műanyag golyóban a gömb a teljes golyó, a felület pedig a műanyag azon része, amely a golyó körvonalát jelenti.
- Példa:
Mekkora egy 5 cm sugarú gömb felületi mérete?
Felbontás:
Mivel az értéke π, nem cseréljük le semmilyen értékre, így:
\(A=4\cdot\pi\cdot5^2\)
\(A=4\cdot\pi\cdot25\)
\(A=100\pi\ cm²\)
Ennek a gömbnek a területe ban ben 100πcm2.
Többet tud: Mi a különbség a kerület, a kör és a gömb között?
Gyakorlatokat megoldott a gömb térfogatára
1. kérdés
Egy gömb alakú tárgy sugara 6 cm. Ezután ennek az objektumnak a térfogata (a π=3,14) megközelítőleg egyenlő:
A) 314,42 cm³
B) 288,00 cm³
C) 424,74 cm3
D) 602,38 cm3
E) 904,32 cm3
Felbontás:
Alternatív E
Az utasításban megadott értékek behelyettesítése a képletbe \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), nekünk van:
\(V=\frac{4}{3}\pi6^3\)
\(V=\frac{4}{3}\pi216\)
\(V=288\pi\approx288\cdot3,14=904,32{\cm}^3\)
2. kérdés
A tartály gömb alakú. Köztudott, hogy van hangereje ban ben 288π cm³. A térfogatának ismeretében kijelenthetjük, hogy ennek a tartálynak a sugara a következő:
A) 3 cm
B) 4 cm
C) 5 cm
D) 6 cm
E) 7 cm
Felbontás:
Alternatíva D
Tudjuk \(V=288\pi\).
Az utasításban megadott értékek behelyettesítése a képletbe \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), nekünk van \(288\pi=\frac{4}{3}\pi R^3\).
A π törlése mindkét oldalon és keresztszorzás:
\({4R}^3=864\)
\(R^3=216\)
\(R=\sqrt[3]{216}\)
\(R=\sqrt[3]{6^3}\)
\(R=6\ cm\)
Források
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Az elemi matematika alapjai: Spatial Geometry, vol. 10, 6. szerk. São Paulo: Aktuális, 2005.
LIMA, E. et. al. Középiskolai matematika. kötet 2. Rio de Janeiro: SBM, 1998.
