O Venn-diagram egy módja annak, hogy ábrázoljuk a numerikus halmazok amely lehetővé teszi a halmazok elemeinek és a köztük lévő műveletek (egyesülés, metszés és különbség) jobb megjelenítését.
Olvasd el te is: Numerikus sorozat – sorrendben ábrázolt számokból álló halmaz
Mi a Venn-diagram?
A Venn-diagram az egy vagy több halmaz elemeinek ábrázolásának módja. Az ábrázoláshoz zárt geometriai alakzatot használunk, és a halmaz elemeit ebbe a geometriai alakzatba írjuk. A Venn diagram megkönnyíti a halmazok közötti műveletek megjelenítését.
Ábrázolások a Venn-diagramban
Egy halmaz elemeinek ábrázolásához a Venn-diagramban a halmaz elemeit a zárt tartományon belülre helyezzük.
→ Egy halmaz ábrázolása a Venn-diagramban
Lásd lentebb az A halmaz elemeinek ábrázolását: {0, 1, 2, 5, 9, 10} a Venn-diagramban.
→ Két halmaz ábrázolása a Venn-diagramban
Két halmaz ábrázolásához először elemezzük, hogy vannak-e közös elemeik vagy sem. Mindegyik esetben más az ábrázolás módja.
◦ Két halmaz ábrázolása, amelyeknek közös elemei vannak
Az A halmazt: {0, 1, 2, 5, 9, 10} és a B halmazt: {0, 3, 4, 7, 9, 12} szeretnénk ábrázolni. Vegye figyelembe, hogy ezeknek a halmazoknak vannak közös elemei. Ezeket a közös elemeket metszéspontnak nevezzük, és ezek azok az elemek, amelyek mindkét diagramhoz tartoznak.. Ezekben a halmazokban a közös elemek a következők: {0, 9}. Ezután ezeket a halmazokat a következőképpen ábrázoljuk:
◦ Két halmaz ábrázolása, amelyeknek nincs közös eleme
Az A halmazt: {0, 1, 2, 5, 9, 10} és a B halmazt: {3, 4, 6, 7, 12} szeretnénk ábrázolni. Ha a halmazoknak nincsenek közös elemei, akkor azok diszjunkt halmazoknak nevezzük. A Venn-diagramban való ábrázolása a következőképpen történik:
Műveletek halmazok között
A halmazok közötti műveletek egyesülés, metszéspont és különbség. A Venn-diagram segítségével megoldhatjuk ezeket a műveleteket.
→ Halmazok egyesülése
A két halmaz egyesülése a e halmazok bármelyikéhez tartozó összes elem egyesítése. Az A és B halmazok uniójának ábrázolásához használjuk a ∪ szimbólumot a halmazokat jelölő betűk között, vagyis az A∪B-t (értsd: unió B-vel).
Példa:
Tekintsük az A halmazokat: {0, 1, 2, 5, 9, 10} és B: {0, 3, 4, 9, 11, 12}. E halmazok uniója az A∪B halmaz: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12}.
→ Halmazok metszéspontja
Két halmaz metszéspontja az olyan elemek alkotják, amelyek egyszerre mindkét halmazhoz tartoznak. A kereszteződés szimbóluma az ∩, így két halmaz metszéspontjának ábrázolásához A∩B-t írunk (olvasható: A metszéspont B-vel).
A halmazok metszéspontját a Venn-diagramban azok az elemek ábrázolják, amelyek mind az A halmazt, mind a B halmazt határoló régióhoz tartoznak.
Példa:
Tekintsük az A halmazokat: {0, 1, 2, 5, 9, 10} és B: {0, 3, 4, 9, 11, 12}. Ezeknek a halmazoknak a metszéspontja az A∩B halmaz: {0, 9}.
→ Különbség a készletek között
A két halmaz közötti különbséget A – B jelképezi. A különbség olyan elemekből áll, amelyek az egyik halmazhoz tartoznak, és nem tartoznak a másikhoz. Például az A – B halmazok közötti különbségben azt a halmazt találjuk, amelyet olyan elemek alkotnak, amelyek csak az A halmazhoz tartoznak, azaz tartoznak az A halmazhoz, de nem tartoznak a B halmazhoz.
Példa:
Tekintsük az A halmazokat: {0, 1, 2, 5, 9, 10} és B: {0, 3, 4, 9, 11, 12}. Az A – B különbség az A – B = {1, 2, 5, 10} halmaz, amelyek azok az elemek, amelyek az A halmazhoz tartoznak, de nem tartoznak a B halmazhoz.
Tudja még: Műveletek törtekkel – hogyan kell csinálni?
Megoldott gyakorlatok a Venn diagramon
1. kérdés
Elemezze a következő képen látható Venn-diagramot:
A B – A halmazhoz tartozó elemek:
A) {d, b, c, f, g, h}
B) {a, i, e}
C) {d, b, c}
D) {f, g, h}
E) {a, b, c, d, e, f, g, h, e, i}
Felbontás:
Alternatíva D
Azt akarjuk, hogy azok az elemek, amelyek csak a B halmazba tartoznak. Ezek a következők: {f, g, h}.
2. kérdés
Elemezze a következő diagramot:
A kiemelt régió a következő:
A) A két halmaz egyesülése
B) A két halmaz közötti különbség
C) A két halmaz metszéspontja
D) Az első halmaz komplementere.
Felbontás:
C alternatíva
Azt a régiót, amely egyszerre mindkét halmazhoz tartozik, metszéspontnak nevezzük.
