A gyökeresedés Ez egy matematikai művelet, akárcsak az összeadás, kivonás, szorzás, osztás és potenciálás. Ugyanúgy, ahogy a kivonás az összeadás inverz, az osztás pedig a szorzás inverze, a kisugárzás a potenciálás fordított művelete. Így valós pozitív x és y és n egész (2-nél nagyobb vagy azzal egyenlő) esetén, ha az n-re emelt x egyenlő y-val, akkor azt mondhatjuk, hogy y n-edik gyöke egyenlő x-szel. Matematikai jelöléssel: \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Olvasd el te is:A frakciók potencírozása és sugárzása – hogyan kell csinálni?
Összefoglaló a rootolásról
A gyökerezés egy matematikai művelet.
A sugárzás és a potenciálás inverz műveletek, azaz pozitív x és y esetén, \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Egy y szám n-edik gyökének kiszámítása azt jelenti, hogy meg kell találni az x számot úgy, hogy az n-re emelt x egyenlő y-val.
A gyökér beolvasása az n indextől függ. Ha n = 2, akkor négyzetgyöknek, ha n = 3, akkor kockagyöknek nevezzük.
A gyökökkel végzett műveleteknél azonos indexű kifejezéseket használunk.
A sugárzásnak fontos tulajdonságai vannak, amelyek megkönnyítik a kiszámítását.
Videó lecke a rootolásról
Gyökér ábrázolása
A gyökeresedést képviselni, figyelembe kell vennünk a három érintett elemet: gyök, index és gyökér. A szimbólum \(√\) radikálisnak nevezik.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
Ebben a példában y a gyök, n az index és x a gyök. Ez így szól: „y n-edik gyöke x”. Míg x és y pozitív valós számokat jelent, n 2-vel egyenlő vagy nagyobb egész számot jelent. Fontos megjegyezni, hogy n = 2 esetén az index elhagyható. Tehát pl. \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
A sugárzást a törtkitevővel rendelkező radikán segítségével ábrázolhatjuk. Formálisan azt mondjuk, hogy az n-edik gyöke \(y^m\) felírható y törtkitevőjére emelve \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Lásd a példákat:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
A sugárzás és a potenciálás közötti különbségek
Potencírozás és sugárzás inverz matematikai műveletek. Ez azt jelenti, hogy ha \(x^n=y\), akkor \(\sqrt[n]{y}=x\). Nehéznek tűnik? Nézzünk néhány példát.
Ha \(3^2=9\), akkor \(\sqrt[2]{9}=3\).
Ha \(2^3=8\), akkor \(\sqrt[3]{8}=2\).
Ha \(5^4=625\), akkor \(\sqrt[4]{625}=5\).
Hogyan olvassunk gyökeret?
Gyökért olvasni, figyelembe kell vennünk az indexet n. Ha n = 2, négyzetgyöknek nevezzük. Ha n = 3, akkor kockagyöknek nevezzük. Az értékekhez n nagyobb, a sorszámokhoz a nómenklatúrát használjuk: negyedik gyök (ha n = 4), ötödik gyök (ha n = 5) és így tovább. Nézzen meg néhány példát:
\(\sqrt[2]{9}\) – 9 négyzetgyöke.
\(\sqrt[3]{8}\) – 8 kockagyöke.
\(\sqrt[4]{625}\) – 625 negyedik gyöke.
Hogyan számítsuk ki egy szám gyökét?
Az alábbiakban látni fogjuk, hogyan kell kiszámítani a pozitív valós szám gyökerét. Szám gyökének kiszámítása, figyelembe kell vennünk a kapcsolódó inverz műveletet. Vagyis ha egy y szám n-edik gyökét keressük, akkor olyan x számot kell keresnünk, hogy \(x^n=y\).
Az y (vagyis a radikán) értékétől függően ez a folyamat lehet egyszerű vagy fáradságos. Nézzünk néhány példát egy szám gyökének kiszámítására.
1. példa:
Mennyi a 144 négyzetgyöke?
Felbontás:
Hívjuk fel a keresett számot x, azaz \(\sqrt{144}=x\). Ne feledje, hogy ez azt jelenti, hogy olyan x számot kell keresni \(x^2=144\). Teszteljünk néhány lehetőséget természetes számokkal:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Ebből adódóan, \(\sqrt{144}=12\).
2. példa:
Mi a 100 kockagyöke?
Felbontás:
Hívjuk fel a keresett számot x, azaz \(\sqrt[3]=x\). Ez azt jelenti \(x^3=100\). Teszteljünk néhány lehetőséget:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Vegye figyelembe, hogy olyan számot keresünk, amely 4 és 5 közötti, as \(4^3=64\) Ez \(5^3=125\). Tehát teszteljünk néhány lehetőséget 4 és 5 közötti számokkal:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Mint \(4,6^3 \) egy 100-hoz közeli és kisebb szám, akkor azt mondhatjuk, hogy a 4,6 a 100 kockagyökének közelítése. Ebből adódóan, \(\sqrt[3]≈4,6\).
Fontos:Ha a gyök racionális szám, azt mondjuk, hogy a gyök pontos; egyébként a gyök nem pontos. A fenti példában meghatározunk egy tartományt a pontos gyökerek között, ahol a keresett gyökér található:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Ez a stratégia nagyon hasznos egy gyökér közelítésének kiszámításához.
Műveletek gyökökkel
A gyökökkel végzett műveleteknél azonos indexű kifejezéseket használunk. Ezt figyelembe véve figyelmesen olvassa el az alábbi információkat.
→ Összeadás és kivonás a gyökök között
A gyökök közötti összeadás vagy kivonás megoldásához minden gyök gyökét külön kell kiszámítanunk.
Példák:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Fontos: Összeadási és kivonási műveletekben nem lehet gyököket operálni. Vegye figyelembe, hogy például a művelet \(\sqrt4+\sqrt9\) eltérő számút eredményez \(\sqrt{13}\), még akkor is, ha \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Gyökök közötti szorzás és osztás
A gyökök közötti szorzás vagy osztás megoldásához kiszámolhatjuk az egyes gyökök gyökerét külön-külön, de használhatjuk a sugárzási tulajdonságokat is, amelyeket alább látni fogunk.
Példák:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Milyen tulajdonságai vannak a sugárzásnak?
→ A sugárzás 1. tulajdonsága
Ha y pozitív szám, akkor az n-edik gyöke \(y^n\) egyenlő y-val.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Lásd a példát:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Ezt a tulajdonságot széles körben használják a gyököket tartalmazó kifejezések egyszerűsítésére.
→ A sugárzás 2. tulajdonsága
A termék n-edik gyökere \(y⋅z\) egyenlő y és z n-edik gyökének szorzatával.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Lásd a példát:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Fontos: Ha nagy szám gyökerét számítjuk ki, az nagyon hasznos faktorozza (bontsa fel) a radikánt prímszámokra és alkalmazza az 1. és 2. tulajdonságot. Lásd a következő példát, amelyben számolni szeretnénk \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Mint ez,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ 3. ingatlana gyökeresedés
A hányados n-edik gyöke \(\frac{y}z\), val vel \(z≠0\), egyenlő y és z n-edik gyökének hányadosával.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Lásd a példát:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ A sugárzás 4. tulajdonsága
Az m kitevőre emelt y n-edik gyöke egyenlő az n-edik gyökével \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Lásd a példát:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Lásd még: Melyek a potencírozás tulajdonságai?
Gyakorlatokat oldott meg a sugárzásról
1. kérdés
(FGV) Egyszerűsítés \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), kapsz:
A) 0
B) - 23
C) - 43
D) - 63
D) - 83
Felbontás:
C alternatíva.
Megjegyezzük, hogy a sugárzási tulajdonságok felhasználásával megvan
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Így az állítás kifejezését átírhatjuk így
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
A kifejezés megfogalmazása \(\sqrt3\) bizonyítékot, arra következtetünk
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
2. kérdés
(Cefet) Melyik számmal szorozzuk meg a 0,75-öt, hogy a kapott szorzat négyzetgyöke 45 legyen?
A) 2700
B) 2800
C) 2900
D) 3000
Felbontás:
Alternatíva A.
A keresett szám x. Így a közlemény szerint
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
Ebből adódóan,
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0,75}\)
\(x = 2700\)
