Polinomok: mik ezek, hogyan lehet megoldani, példák

Tudjuk, hogyan polinom olyan kifejezés, amely a nem hasonló monomálok algebrai összegét jelöli, vagyis a polinom az egy algebrai kifejezés monomálisok között. A monomium egy algebrai kifejezés, amelynek együtthatója és szó szerinti része van.

Ha a polinomok között hasonló kifejezések vannak, akkor lehetséges a feltételeinek csökkentése két polinom összeadása és / vagy kivonása. Két polinom is megosztható az elosztó tulajdonságon keresztül. Az osztás a kulcsok módszerével történik.

Olvassa el: Polinomegyenlet - Az az egyenlet, amelynek a polinomja egyenlő 0-val

A polinomok algebrai kifejezések, amelyek összeadásával vagy kivonásával elválasztott monomálisok vannak.
A polinomok algebrai kifejezések, amelyek összeadásával vagy kivonásával elválasztott monomálisok vannak.

Mik azok a monomálisok?

Ahhoz, hogy megértsük, mi az a polinom, fontos megérteni a monomálium jelentését. Az algebrai kifejezés monomium néven ismert, ha van számok és betűk és azok kitevői csak szorzással elválasztva. A szám együttható, a betűk és kitevőik pedig szó szerinti részek.

Példák:

  • 2x² → 2 az együttható; x² a szó szerinti rész.

  • √5ax → √5 az együttható; ax a szó szerinti rész.

  • b³yz² → 1 az együttható; b³yz² a szó szerinti rész.

Mi az a polinom?

A polinom nem más, mint a monomális algebrai összegevagyis inkább monomálisak, amelyeket összeadással vagy kivonással választanak el egymástól.

Példák:

  • ax² + + 3-mal

  • 5c³d - 4ab + 3c²

  • -2ab + b - 3xa

Általánosságban elmondható, hogy egy polinomnak több kifejezése is lehet, ezt algebrailag a

Anemxnem + a(n-1) x(n-1) +… + A2x² + a1x + a

Lásd még: Melyek a polinomok osztályai?

fokú polinom

A polinom fokozatának megkereséséhez válasszuk szét két esetre, amikor egyetlen változóval és több változóval rendelkezik. A polinom mértékét a foka a legnagyobb monomáliáinak mindkét esetben.

Elég gyakori olyan polinommal dolgozni, amelynek csak egy változója van. Amikor ez megtörténik, O nagyobb monomium fokozat amely jelzi a fokozatot a polinom egyenlő a változó legnagyobb kitevőjével:

Példák:

Egyváltozós polinomok

a) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → vegye figyelembe, hogy a változó x, és a legnagyobb kitevője 3, tehát ez egy 3 fokú polinom.

b) 2y5 + 4y² - 2y + 8 → a változó y, a legnagyobb kitevő pedig 5, tehát ez egy 5 fokú polinom.

Ha a polinomnak egynél több változója van egy monomálisban, akkor ennek a kifejezésnek a mértékéhez meg kell találni add-ha az egyes változók kitevőinek mértéke. Így a polinom mértéke ebben az esetben még mindig megegyezik a legnagyobb monomális mértékével, de ügyelni kell az egyes monomális változók kitevőinek összeadására.

Példák:

a) 2xi + 4x2y3-5y4

Az egyes kifejezések szó szerinti részét elemezve:

xy → 2. évfolyam (1 + 1)

x²y³ → 5. fok (2 + 3)

y³ → 3. fokozat

Ne feledje, hogy a legnagyobb tag 5 fokú, tehát ez egy 5 fokos polinom.

b) 8a²b - ab + 2a²b²

Az egyes monómiumok szó szerinti részének elemzése:

a²b → 3. évfolyam (2 + 1)

ab² → 2. fokozat (1 + 1)

a²b² → 4. évfolyam (2 + 2)

Így a polinom 4-es fokozatú.

Polinomok hozzáadása

Hoz két polinom összeadása, hajtsuk végre a hasonló monomális anyagok redukciója. Két monomális hasonló, ha azonos szó szerinti részeik vannak. Amikor ez megtörténik, lehetséges a polinom egyszerűsítése.

Példa:

Legyen P (x) = 2x² + 4x + 3 és Q (x) = 4x² - 2x + 4. Keresse meg P (x) + Q (x) értékét.

2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4

Hasonló kifejezések keresése (amelyeknek ugyanaz a szó szerinti része van):

2x² + 4x + 3 + 4x²2x + 4

Most tegyük hozzá a hasonló monomális elemeket:

(2 + 4) x² + (4-2) x + 3 + 4

6x² + 2x +7

Polinomiális kivonás

A kivonás nem sokban különbözik az összeadástól. A fontos részlet az először az ellenkező polinomot kell megírnunk mielőtt elvégeznénk a hasonló kifejezések egyszerűsítését.

Példa:

Adatok: P (x) = 2x² + 4x + 3 és Q (x) = 4x² - 2x + 4. Számítsa ki a P (x) - Q (x) értékeket.

A -Q (x) polinom ellentétes a Q (x) -vel, a Q (x) ellentétének megtalálásához csak fordítsa meg az egyes kifejezések előjelét, így meg kell:

-Q (x) = -4x2 + 2x - 4

Akkor kiszámoljuk:

P (x) + (-Q (x))

2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4

A hasonló kifejezések leegyszerűsítésével:

(2 - 4) x² + (4 + 2) x + (3 - 4)

-2x² + 6x + (-1)

-2x² + 6x - 1

Polinomi szorzás

Két polinom szorzásának elvégzéséhez az ismertet használjuk disztribúciós tulajdon a két polinom között, az első polinom monomálisainak szorzását a másodikéval.

Példa:

Legyen P (x) = 2a² + b és Q (x) = a3 + 3ab + 4b². Számítsa ki a P (x) · Q (x) értéket.

P (x) · Q (x)

(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)

A disztribúciós tulajdonság alkalmazásával:

2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²

2.5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³

Ha léteznek, egyszerűsíthetjük a hasonló kifejezéseket:

2.5 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³

Ne feledje, hogy az egyetlen hasonló monomálist narancssárga színnel emelik ki, egyszerűsítve őket, válaszul a következő polinomot kapjuk:

2.5 + (6 + 1) a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³

2.5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³

Hozzáférhet továbbá: Hogyan kell elvégezni az algebrai tört szorzást?

polinomiális felosztás

hajtsa végre a a polinomok felosztása elég fáradságos lehet, használjuk az úgynevezetteket kulcs módszer, de erre számos módszer létezik. Két polinom felosztása csak akkor lehetséges, ha az osztó foka kisebb. Ha elosztjuk a P (x) polinomot a D (x) polinommal, Q (x) polinomot keresünk, oly módon, hogy:

Így az osztási algoritmus segítségével megvan, hogy: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).

P (x) → osztalék

D (x) → osztó

Q (x) → hányados

R (x) → maradék

Az osztás működtetésekor a P (x) polinom osztható a D (x) polinommal, ha a maradék nulla.

Példa:

Működjünk úgy, hogy a P (x) = 15x² + 11x + 2 polinomot elosztjuk a D (x) = 3x + 1 polinommal.

Meg akarjuk osztani:

(15x² + 11x + 2): (3x + 1)

1. lépés: osztjuk az osztalék első monómiáját az osztó elsőjével:

15x2: 3x = 5x

2. lépés: szorozzuk 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x, és kivonjuk P (x) eredményét. A kivonás elvégzéséhez meg kell fordítani a szorzási eredmény jeleit, megtalálva a polinomot:

3. lépés: elvégezzük a kivonási eredmény első tagjának felosztását az osztó első tagjával:

6x: 3x = 2

4. lépés: tehát van (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.

Ezért nekünk:

Q (x) = 5x + 2

R (x) = 0

Olvassa el: Briot-Ruffini gyakorlati eszköze - a polinomok felosztása

megoldott gyakorlatok

1. kérdés - Mekkora lehet az m értéke, hogy a P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m polinom 2 fokos legyen?

A) 3

B) -3

C) ± 3

D) 9

E) -9

Felbontás

A alternatíva

Ahhoz, hogy P (x) 2 fokú legyen, az x³ együtthatónak nullának kell lennie, és az x² együtthatónak különböznie kell a nullától.

Tehát megtesszük:

m² - 9 = 0

m² = 9

m = ± 9

m = ± 3

Másrészt megvan, hogy m + 3 ≠ 0.

Tehát, m ≠ -3.

Így az első egyenlet megoldásaként megkapjuk, hogy m = 3 vagy m = -3, a másodikra ​​viszont m ≠ -3, tehát az egyetlen megoldás, amely miatt P (x) 2 fokú, a következő: m = 3.

2. kérdés - (IFMA 2017) Az ábra kerülete a polinommal írható fel:

A) 8x + 5

B) 8x + 3

C) 12 + 5

D) 12x + 10

E) 12x + 8

Felbontás

D alternatíva

A képből, amikor elemezzük a megadott hosszúságot és szélességet, tudjuk, hogy a kerület az összes oldal összege. Mivel a hossz és a magasság megegyezik, csak meg kell szorozni az adott polinomok összegét 2-vel.

2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 (6x + 5) = 12x + 10

Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár

Ez a zselés köröm vége? Egy régi koncepció visszatért és divatba jön!

Ez a zselés köröm vége? Egy régi koncepció visszatért és divatba jön!

Hoz matrica műkörmök újra előtérbe kerülnek, egyszerű és kényelmes lehetőséget kínálva azoknak, a...

read more
Felbecsülhetetlen! Elsüllyedt kincset találnak az ókori egyiptomi városban; többet tud

Felbecsülhetetlen! Elsüllyedt kincset találnak az ókori egyiptomi városban; többet tud

Az egyiptomi Amun istennek szentelt templomot és Aphrodité görög istennő rituális leleteit talált...

read more
Figyelmeztetés: EZ az étel hajhullást válthat ki a tanulmány szerint

Figyelmeztetés: EZ az étel hajhullást válthat ki a tanulmány szerint

A Cell Reports tudományos folyóiratban nemrég megjelent tanulmány egy olyan felfedezést hozott na...

read more