Tudjuk, hogyan polinom olyan kifejezés, amely a nem hasonló monomálok algebrai összegét jelöli, vagyis a polinom az egy algebrai kifejezés monomálisok között. A monomium egy algebrai kifejezés, amelynek együtthatója és szó szerinti része van.
Ha a polinomok között hasonló kifejezések vannak, akkor lehetséges a feltételeinek csökkentése két polinom összeadása és / vagy kivonása. Két polinom is megosztható az elosztó tulajdonságon keresztül. Az osztás a kulcsok módszerével történik.
Olvassa el: Polinomegyenlet - Az az egyenlet, amelynek a polinomja egyenlő 0-val
Mik azok a monomálisok?
Ahhoz, hogy megértsük, mi az a polinom, fontos megérteni a monomálium jelentését. Az algebrai kifejezés monomium néven ismert, ha van számok és betűk és azok kitevői csak szorzással elválasztva. A szám együttható, a betűk és kitevőik pedig szó szerinti részek.
Példák:
2x² → 2 az együttható; x² a szó szerinti rész.
√5ax → √5 az együttható; ax a szó szerinti rész.
b³yz² → 1 az együttható; b³yz² a szó szerinti rész.
Mi az a polinom?
A polinom nem más, mint a monomális algebrai összegevagyis inkább monomálisak, amelyeket összeadással vagy kivonással választanak el egymástól.
Példák:
ax² + + 3-mal
5c³d - 4ab + 3c²
-2ab + b - 3xa
Általánosságban elmondható, hogy egy polinomnak több kifejezése is lehet, ezt algebrailag a
Anemxnem + a(n-1) x(n-1) +… + A2x² + a1x + a
Lásd még: Melyek a polinomok osztályai?
fokú polinom
A polinom fokozatának megkereséséhez válasszuk szét két esetre, amikor egyetlen változóval és több változóval rendelkezik. A polinom mértékét a foka a legnagyobb monomáliáinak mindkét esetben.
Elég gyakori olyan polinommal dolgozni, amelynek csak egy változója van. Amikor ez megtörténik, O nagyobb monomium fokozat amely jelzi a fokozatot a polinom egyenlő a változó legnagyobb kitevőjével:
Példák:
Egyváltozós polinomok
a) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → vegye figyelembe, hogy a változó x, és a legnagyobb kitevője 3, tehát ez egy 3 fokú polinom.
b) 2y5 + 4y² - 2y + 8 → a változó y, a legnagyobb kitevő pedig 5, tehát ez egy 5 fokú polinom.
Ha a polinomnak egynél több változója van egy monomálisban, akkor ennek a kifejezésnek a mértékéhez meg kell találni add-ha az egyes változók kitevőinek mértéke. Így a polinom mértéke ebben az esetben még mindig megegyezik a legnagyobb monomális mértékével, de ügyelni kell az egyes monomális változók kitevőinek összeadására.
Példák:
a) 2xi + 4x2y3-5y4
Az egyes kifejezések szó szerinti részét elemezve:
xy → 2. évfolyam (1 + 1)
x²y³ → 5. fok (2 + 3)
y³ → 3. fokozat
Ne feledje, hogy a legnagyobb tag 5 fokú, tehát ez egy 5 fokos polinom.
b) 8a²b - ab + 2a²b²
Az egyes monómiumok szó szerinti részének elemzése:
a²b → 3. évfolyam (2 + 1)
ab² → 2. fokozat (1 + 1)
a²b² → 4. évfolyam (2 + 2)
Így a polinom 4-es fokozatú.
Polinomok hozzáadása
Hoz két polinom összeadása, hajtsuk végre a hasonló monomális anyagok redukciója. Két monomális hasonló, ha azonos szó szerinti részeik vannak. Amikor ez megtörténik, lehetséges a polinom egyszerűsítése.
Példa:
Legyen P (x) = 2x² + 4x + 3 és Q (x) = 4x² - 2x + 4. Keresse meg P (x) + Q (x) értékét.
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Hasonló kifejezések keresése (amelyeknek ugyanaz a szó szerinti része van):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Most tegyük hozzá a hasonló monomális elemeket:
(2 + 4) x² + (4-2) x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Polinomiális kivonás
A kivonás nem sokban különbözik az összeadástól. A fontos részlet az először az ellenkező polinomot kell megírnunk mielőtt elvégeznénk a hasonló kifejezések egyszerűsítését.
Példa:
Adatok: P (x) = 2x² + 4x + 3 és Q (x) = 4x² - 2x + 4. Számítsa ki a P (x) - Q (x) értékeket.
A -Q (x) polinom ellentétes a Q (x) -vel, a Q (x) ellentétének megtalálásához csak fordítsa meg az egyes kifejezések előjelét, így meg kell:
-Q (x) = -4x2 + 2x - 4
Akkor kiszámoljuk:
P (x) + (-Q (x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
A hasonló kifejezések leegyszerűsítésével:
(2 - 4) x² + (4 + 2) x + (3 - 4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x - 1
Polinomi szorzás
Két polinom szorzásának elvégzéséhez az ismertet használjuk disztribúciós tulajdon a két polinom között, az első polinom monomálisainak szorzását a másodikéval.
Példa:
Legyen P (x) = 2a² + b és Q (x) = a3 + 3ab + 4b². Számítsa ki a P (x) · Q (x) értéket.
P (x) · Q (x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
A disztribúciós tulajdonság alkalmazásával:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2.5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³
Ha léteznek, egyszerűsíthetjük a hasonló kifejezéseket:
2.5 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Ne feledje, hogy az egyetlen hasonló monomálist narancssárga színnel emelik ki, egyszerűsítve őket, válaszul a következő polinomot kapjuk:
2.5 + (6 + 1) a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2.5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Hozzáférhet továbbá: Hogyan kell elvégezni az algebrai tört szorzást?
polinomiális felosztás
hajtsa végre a a polinomok felosztása elég fáradságos lehet, használjuk az úgynevezetteket kulcs módszer, de erre számos módszer létezik. Két polinom felosztása csak akkor lehetséges, ha az osztó foka kisebb. Ha elosztjuk a P (x) polinomot a D (x) polinommal, Q (x) polinomot keresünk, oly módon, hogy:
Így az osztási algoritmus segítségével megvan, hogy: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
P (x) → osztalék
D (x) → osztó
Q (x) → hányados
R (x) → maradék
Az osztás működtetésekor a P (x) polinom osztható a D (x) polinommal, ha a maradék nulla.
Példa:
Működjünk úgy, hogy a P (x) = 15x² + 11x + 2 polinomot elosztjuk a D (x) = 3x + 1 polinommal.
Meg akarjuk osztani:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
1. lépés: osztjuk az osztalék első monómiáját az osztó elsőjével:
15x2: 3x = 5x
2. lépés: szorozzuk 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x, és kivonjuk P (x) eredményét. A kivonás elvégzéséhez meg kell fordítani a szorzási eredmény jeleit, megtalálva a polinomot:
3. lépés: elvégezzük a kivonási eredmény első tagjának felosztását az osztó első tagjával:
6x: 3x = 2
4. lépés: tehát van (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Ezért nekünk:
Q (x) = 5x + 2
R (x) = 0
Olvassa el: Briot-Ruffini gyakorlati eszköze - a polinomok felosztása
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - Mekkora lehet az m értéke, hogy a P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m polinom 2 fokos legyen?
A) 3
B) -3
C) ± 3
D) 9
E) -9
Felbontás
A alternatíva
Ahhoz, hogy P (x) 2 fokú legyen, az x³ együtthatónak nullának kell lennie, és az x² együtthatónak különböznie kell a nullától.
Tehát megtesszük:
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ± 3
Másrészt megvan, hogy m + 3 ≠ 0.
Tehát, m ≠ -3.
Így az első egyenlet megoldásaként megkapjuk, hogy m = 3 vagy m = -3, a másodikra viszont m ≠ -3, tehát az egyetlen megoldás, amely miatt P (x) 2 fokú, a következő: m = 3.
2. kérdés - (IFMA 2017) Az ábra kerülete a polinommal írható fel:
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Felbontás
D alternatíva
A képből, amikor elemezzük a megadott hosszúságot és szélességet, tudjuk, hogy a kerület az összes oldal összege. Mivel a hossz és a magasság megegyezik, csak meg kell szorozni az adott polinomok összegét 2-vel.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 (6x + 5) = 12x + 10
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár