A lineáris rendszerek lineáris egyenletek halmazából állnak, amelyek kapcsolatban állnak egymással. Ez a kapcsolat viszont ezen egyenletek megoldási halmazán keresztül valósul meg. Amikor két vagy több egyenletet írunk lineáris rendszerbe, azt mondjuk, hogy ezeknek az egyenleteknek egyenlőnek kell lenniük. Azoknak az értékeknek, amelyeket az ismeretlenek feltételeznek az egyik egyenlet érvényesítéséhez, a többieknek meg kell egyezniük, vagyis ennek a lineáris rendszernek az összes egyenletének ugyanazzal a megoldáshalmazzal kell rendelkeznie.
Ezért azt mondjuk, hogy a halmaz (a1, a2, a3, …, Anem) egy lineáris rendszer megoldási halmaza, ha ez az összes lineáris rendszeregyenlet megoldása. Nézzünk meg egy példát, hogy jobban megértsük ezt az egész elméletet:
Rendszerünk van két egyenlettel: az első egyenletben felsorolhatunk több olyan megoldást, amelyek kielégíti ezt az egyenletet, azonban meg kell találnunk e halmazok közül azt, amely a másodikat is kielégíti egyenlet. Elemezzük a megoldáskészletet (6.4):
• Az x + y = 10 egyenletben. S = {(6,4)}, azaz x = 6 és y = 4.
6 + 4 = 10 (Igaz egyenlőség, ez a megoldáskészlet kielégíti az első egyenletet)
• A 2x - y = 5 (x = 6 és y = 4) egyenletben
Lesz: 2,6 - 4 = 5 -> 8 = 5 (hamis)
Ez a megoldási halmaz nem elégíti ki a második egyenletet, ezért nem mondhatjuk, hogy ez a megoldási halmaz a lineáris rendszer megoldása.
Nézzük meg a megoldáskészletet (5.5). Ebben az esetben mindkét egyenlet meg lesz elégedve ezzel a halmazzal, tehát ez a lineáris rendszer megoldási halmaza (1).
Azonban vegye figyelembe, hogy a lineáris rendszertől függően a megoldáshalmaz megszerzése bonyolulttá válik, csak mentálisan kiszámítva az egyes egyenletek lehetséges megoldásait. Vannak azonban aritmetikai módszerek a lineáris rendszer megoldására, és sokukat már az általános iskolában is tanulmányozták. (Összeadás, csere, összehasonlítás)
Nem mindig lehet olyan megoldást találni, amely ténylegesen kielégíti az adott rendszer összes egyenletét. Ezzel a zsákutcával szembesülve fel kellett meríteni a megoldáskészlet megszerzésének lehetőségeit és azokkal ez lehetővé tette a lineáris rendszer megoldási halmaza szerinti osztályozásának 3 lehetőségét. Ezt a témát tárgyalja a cikk. Lineáris rendszer osztályozása.
Írta: Gabriel Alessandro de Oliveira
Matematikából végzett
Brazil iskolai csapat.
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-lineares.htm
