A 2. fokú egyenlet megoldásában x2 - 6x + 9 = 0, két gyököt találunk, amelyek egyenlőek 3-mal. A bontási tétel felhasználásával tényezőt adunk a polinomra, és megkapjuk:
x2 - 6x + 9 = 0 = (x - 3) (x - 3) = (x - 3)2
Ebben az esetben azt mondjuk, hogy 3 az 2-es szorzat gyöke vagy az egyenlet kettős gyöke.
Tehát, ha egy faktorizált polinom a következő kifejezést eredményezi:
Mondhatjuk, hogy:
x = -5 a 3-as sokaságú gyök, vagy a p (x) = 0 egyenlet hármas gyöke
x = -4 a 2-es sokaságú gyök, vagy a p (x) = 0 egyenlet kettős gyöke
x = 2 gyök 1-es multiplicitással, vagy a p (x) = 0 egyenlet egyszerű gyöke
Általánosságban azt mondjuk, hogy r a p (x) = 0 egyenlet n sokaságának gyökere, n = 1, ha:
Ne feledje, hogy p (x) osztható (x - r) -velm és hogy a q (r) ≠ 0 feltétel azt jelenti, hogy r nem q (x) gyöke, és garantálja, hogy az r gyök sokasága nem nagyobb, mint m.
1. példa Oldja meg az x egyenletet4 - 9x3 + 23x2 - 3x - 36 = 0, mivel a 3 kettős gyökér.
Megoldás: Tekintsük p (x) -et az adott polinomnak. Így:
Megjegyezzük, hogy q (x) -et úgy kapjuk meg, hogy elosztjuk p (x) -et (x - 3)
Ha Briot-Ruffini gyakorlati eszközével osztjuk el, a következőket kapjuk:
Az osztás elvégzése után azt látjuk, hogy a q (x) polinom együtthatói 1, -3 és -4. Így q (x) = 0 lesz: x2 - 3x - 4 = 0
Oldjuk meg a fenti egyenletet a többi gyök meghatározásához.
x2 - 3x - 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 vagy x = 4
Ezért S = {-1, 3, 4}
2. példa Írjon egy minimális fokú algebrai egyenletet úgy, hogy 2 kettős gyökér és - 1 egyetlen gyök legyen.
Megoldás: Meg kell:
(x - 2) (x - 2) (x - (-1)) = 0
Vagy
Írta: Marcelo Rigonatto
Statisztikai és matematikai modellezési szakember
Brazil iskolai csapat
Polinomok - Math - Brazil iskola
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm
