A legfeljebb 3 (n≤3) nagyságrendű négyzetmátrixok determinánsainak kiszámításához néhány gyakorlati szabályunk van ezen számítások elvégzésére. Ha azonban a sorrend nagyobb, mint 3 (n> 3), sok ilyen szabály nem alkalmazható.
Tehát meglátjuk Laplace tételét, amely a kofaktor fogalmát felhasználva a determinánsok kiszámítását olyan szabályokhoz vezeti, amelyek bármely négyzetmátrixra érvényesek.
Laplace tétele abból áll, hogy kiválasztja a mátrix egyik sorát (sort vagy oszlopot), és hozzáadja az adott sor elemeinek szorzatait a megfelelő kofaktorok által.
Algebrai illusztráció:
Nézzünk meg egy példát:
Számítsa ki a C mátrix determinánsát Laplace tételével:
Laplace tétel szerint egy sort (sort vagy oszlopot) kell választanunk a determináns kiszámításához. Használjuk az első oszlopot:
Meg kell találnunk a kofaktor értékeit:
Így Laplace-tétel szerint a C mátrix determinánsát a következő kifejezés adja meg:
Ne feledje, hogy nem volt szükség a nulla értékű mátrix elem kofaktorának kiszámítására, végül is, amikor a kofaktort szorozzuk, az eredmény egyébként is nulla lesz. Ezért amikor olyan mátrixokkal találkozunk, amelyek egyik sorában sok nulla található, a a Laplace-tétel használata érdekessé válik, mivel nem lesz szükség többre kofaktorok.
Nézzünk meg egy példát erre a tényre:
Számítsa ki a B mátrix determinánsát Laplace tételével:
Vegye figyelembe, hogy a második oszlop az a sor, amelyben a legnagyobb a nullák száma, ezért ezt a sort fogjuk használni a mátrixdetermináns kiszámításához Laplace tételén keresztül.
Ezért a B mátrix determinánsának meghatározásához csak keresse meg az A22 kofaktort.
Ezért befejezhetjük a meghatározó számításait:
det B = (- 1). (- 65) = 65
Írta: Gabriel Alessandro de Oliveira
Matematikából végzett
Brazil iskolai csapat
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm