A befecskendezési funkció, más néven injektív funkció, a funkció sajátos esete. Ahhoz, hogy egy funkciót injekciónak lehessen tekinteni, a következő előfordulással kell rendelkeznünk: adott két elem, x1 és x2, a tartománykészlethez tartozó, x-szel1 eltér az x-től2, képek f (x1) és f (x2) mindig különböznek egymástól, azaz f (x1) ≠ f (x2). Ennek a funkciónak olyan sajátos jellemzői vannak, amelyek lehetővé teszik a gráfjának azonosítását és a képződési törvény elemzését is.
Olvassa el: Domain, kontra-domain és kép - alapvető kifejezések a funkciók tartalmának megértésére
Mi az injekciós funkció?
Az injektor funkcióinak néhány példájának összeállításához fontos megérteni az ilyen típusú funkció definícióját. Egy függvény f: A → B besorolás injekcióként akkor és csak akkor, ha az A halmaztól eltérő elemeknek különböző képei vannak a B halmazbanazaz:
1. példa:
Az alábbiakban bemutatjuk az injektor működését dve diagramnemnem:
2. példa:
Az alábbiakban egy példa a nem injekciós funkcióra. Vegye figyelembe, hogy a
készlet A, két különálló elem van, amelyeknek ugyanaz a képük a B halmazban, ami ellentmond az injektor funkciójának meghatározásának.
Hogyan lehet kiszámítani az injektor funkcióját?
Annak ellenőrzéséhez, hogy egy függvény injektál-e vagy sem, elemeznünk kell a formációs törvény viselkedését, valamint azt a tartományt és ellentartományt, amelyben a függvény definiálva van.
Példa:
adott a funkció f: R → R, a képződési törvénnyel f(x) = 2x, ellenőrizze, hogy injektor-e.
A formációs törvény alapján láthatjuk, hogy a valós szám domainná változtatja. Két különálló valós szám kettővel szorozva eltérő eredményeket hoz. A Foglalkozásaf, amint láthatjuk, ez egy injektor funkció, mivel az x bármely két értékére1 és x2,az értéke f(x1) ≠ f(x2).
2. példa:
adott a funkció f: R → R, képződési törvénnyel f(x) = x², ellenőrizze, hogy injektor-e.
Megfigyelhetjük, hogy ennél a tartománynál ez a függvény nem injektál, mivel nálunk bármely szám képe megegyezik az ellenkezőjének képével, például:
f( 2) = 2² = 4
f( --2 ) = (– 2) ² = 4
vegye figyelembe, hogy f(2) = f (- 2), amely ellentmond az injektor funkció meghatározásának.
3. példa:
adott a funkció f: R+ → R, képződési törvénnyel f(x) = x², ellenőrizze, hogy injektor-e.
Vegye figyelembe, hogy most a tartomány a pozitív valós szám és nulla. A függvény a valós számot négyzetévé változtatja; ebben az esetben, ha a tartomány a pozitív valós számok halmaza, ez a függvény injektív, mivel két külön pozitív szám négyzete mindig különböző eredményeket generál. Tehát nagyon fontos megjegyezni, hogy a függvényképzési törvény mellett elemeznünk kell annak tartományát és ellenterületét is.
Olvassa el: Mi az inverz függvény?
Injekció funkció diagram
Annak megállapításához, hogy a grafikon injektor funkció-e vagy sem, csak ellenőrizze, hogy vannak-e ilyenek két különálló x-érték, amelyek ugyanazt az y-megfelelőt generálják, vagyis ellenőrizze az injektor funkció definíciójának érvényességét.
Abban a tartományban, ahol a grafikont fogjuk megnézni, a függvénynek kizárólag növekvőnek vagy kizárólag csökkenőnek kell lennie. A grafika, mint a példázat vagy a szinuszfüggvény nem az injektor funkcióinak grafikonja.
1. példa:
Az emelkedő vonal az injekciós függvény grafikonja. Ne feledje, hogy ez mindig növekszik, és nincs olyan y-érték, amelynek két különálló megfelelője lenne.
2. példa:
Az a grafikonja exponenciális függvény ez egy injektorfüggvény grafikonja is.
3. példa:
Az a grafikonja másodfokú függvény ez mindig egy példázat. Amikor a tartomány a valós számokat foglalja magában, láthatja, hogy vannak különböző x értékek, amelyek rendelkeznek megegyezik y-vel, mint az F és a G pontban, ami ezt a gráfot egy olyan függvényből áll, amely nem injektor.
Összefoglalva: annak ismeretében, hogy a grafikon egy injektor funkcióval rendelkezik-e vagy sem, elég ellenőrizni, hogy az injektor funkció meghatározása érvényes-e erre a funkcióra.
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - (Enem 2017 - PPL) Egy iskola középiskolájának első évében szokás, hogy a diákok négyzet táncokat táncolnak a júniusi partin. Idén 12 lány és 13 fiú van az osztályban, és a bandának 12 különböző párja alakult, amely egy lányból és egy fiúból állt. Tegyük fel, hogy a lányok az A és a fiúk a B halmaz alkotó elemei, így a képződő párok f és A függvényt jelentenek.
Ezen információk alapján a függvény típusának osztályozása, amely jelen kapcsolatban van, az
A) f injekciót ad, mert az A halmazba tartozó minden lányhoz egy másik, a B halmazhoz tartozó fiú társul.
B) f surjektív, mivel mindegyik párot az A halmazba tartozó lány és a B halmazba tartozó fiú alkotja, pár nélkül maradt fiú marad.
C) f, mint bármelyik két lány, aki az A csoportba tartozik, és ugyanazzal a fiúval a B csoportba tartozik, bevonja az osztály összes tanulóját.
D) f bijektív, mivel bármely két B halmazhoz tartozó fiú párost alkot ugyanazzal a lánnyal, amely az A halmazba tartozik.
E) f szurjektív, mivel elegendő, ha az A halmazból származó lány a B halmazból két fiúval alkot egy párt, így egyetlen fiú sem marad pár nélkül.
Felbontás
A. alternatíva
Ez a funkció injektív jellegű, mert az A halmaz minden eleméhez a B halmazban egyetlen tudósító van. Ne feledje, hogy nincs lehetőség arra, hogy két lány ugyanazzal a párral táncoljon, ezért ez a kapcsolat intravénás.
2. kérdés - (IME - RJ) Tekintsük az A = {(1,2), (1,3), (2,3)} és B = {1, 2, 3, 4, 5} halmazokat, és hagyjuk az f függvényt: A → B oly módon, hogy f (x, y) = x + y.
Azt lehet mondani, hogy f függvény:
A) injektor.
B) surjektív.
C) bijector.
D) par.
E) páratlan.
Felbontás
A. alternatíva
A domain elemzéséhez:
f (1,2) = 1 + 2 = 3
f (1,3) = 1 + 3 = 4
f (2,3) = 2 + 3 = 5
Ne feledje, hogy a tartomány bármely két különálló terminusa esetében az ellendomain különálló kifejezéseihez kapcsolódnak, ez teszi ezt a függvény injektort.
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm