A numerikus szekvencia, amint a neve is sugallja, számsorozat és általában megismétlődési törvénye van, amely lehetővé teszi a következő feltételek megjóslását az elődök megismerése. Számszekvenciákat állíthatunk össze különböző kritériumokkal, például páros számok vagy számok sorozatával osztható 4-gyel, prímszámok sorozata, tökéletes négyzetek szekvenciája, végül a szekvenciáknak számos lehetősége van számszerű.
Amikor a sorrendet a kifejezések száma alapján rangsoroljuk, a szekvencia lehet véges vagy végtelen. Amikor osztályozzuk a szekvenciát a kifejezések viselkedése alapján, ez a szekvencia lehet növekvő, csökkenő, oszcilláló vagy állandó. Vannak olyan szekvenciák speciális esetei, amelyeket aritmetikai progressziónak és geometriai progressziónak neveznek.
Olvassa el: Hogyan számoljuk ki az s-toma feltételeinek a számtani progresszió?
Számsorozat összefoglalása
A numerikus szekvencia nem más, mint egy számsor.
-
Néhány numerikus szekvencia példa:
páros számok sorozata (0,2,4,6,8…);
a 6-nál (1, 2, 3, 4, 5) kisebb természetes szekvencia;
prímszámok sorozata (2,3,5,7,11,…).
A progresszió kialakulásának törvénye az a szabály, amely ezt a sorrendet szabályozza.
-
Egy szekvencia lehet véges vagy végtelen.
Véges: ha korlátozott mennyiségű kifejezés áll rendelkezésedre.
Végtelen: amikor korlátlan mennyiségű feltételed van.
-
Egy szekvencia lehet növekvő, hitetlenkedő, állandó vagy ingadozó.
Félhold: amikor a kifejezés mindig kisebb, mint az utódja.
Csökkenő: amikor a kifejezés mindig nagyobb, mint utódja.
Állandó: amikor a kifejezés mindig egyenlő az utódjával.
Rezgő: amikor vannak utódjánál nagyobb és kisebb kifejezések.
Vannak speciális esetek a szekvenciáról, amelyeket számtani progressziónak vagy geometriai progressziónak neveznek.
A számsorozat előfordulásának törvénye
Numerikus szekvenciaként ismerjük bármely számok által alkotott szekvencia. A szekvenciákat általában a terminusok felsorolásával mutatjuk be, zárójelbe zárva és vesszővel elválasztva. Ez a lista a számsor előfordulásának törvényeként ismert.
(A1, a2, a3, …, Anem)
A1 → a szekvencia 1. ciklusa
A2 → a szekvencia 2. ciklusa
A3 → a szekvencia 3. ciklusa
Anem → a szekvencia n-edik tagja
Nézzünk meg néhány példát az alábbiakban.
1. példa:
A számsorozat előfordulásának törvénye többszörösét 5-ből:
(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)
2. példa:
A szekvencia előfordulásának törvénye prímszámok:
(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )
3. példa:
Az előfordulás törvénye egész negatív:
( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)
4. példa:
10-nél kisebb páratlan számok sorozata:
(1, 3, 5, 7, 9)
Olvassa el: Melyek a páratlan és páros számok tulajdonságai?
Numerikus szekvencia osztályozás
A karakterlánc osztályozásának kétféle módja van. Az első az a feltételek összegét illetően, ahogyan egy szekvencia lehet véges vagy végtelen. A szekvenciák osztályozásának másik módja az ami a viselkedésüket illeti. Ebben az esetben növekvő, csökkenő, állandó vagy ingadozó kategóriába sorolják őket.
Besorolás a kifejezések összege szerint
→ véges számsor
A szekvencia véges, amikor korlátozott mennyiségű kifejezéssel rendelkezik.
Példák:
(1, 2, 3, 4, 5)
(– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)
→ végtelen számsor
A szekvencia végtelen, ha korlátlan mennyiségű kifejezést tartalmaz.
Példák:
(10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )
(– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )
Viselkedés értékelése
→ Növekvő számsorozat
Egy sorozat növekvő amikor bármely kifejezés mindig kisebb, mint utódja sorban.
Példák:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )
( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)
→ Csökkenő számsor
Egy sorozat csökkenő amikor bármely kifejezés mindig nagyobb, mint utódja sorban.
Példák:
(10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )
(4, – 8, – 16, – 32, – 64 )
→ állandó számsorozat
Egy szekvencia akkor állandó, amikor a sorrendben szereplő összes kifejezés megegyezik:
Példák:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)
( – 4, – 4, – 4, – 4 … )
→ Oszcilláló szekvencia
Egy szekvencia leng amikor vannak nagyobb és kisebb kifejezések hogy egymás után következő utódaik:
Példák:
(1,-2,4,-8,16,-32,64...)
(1, – 1, 1, – 1, 1, – 1)
Számszekvencia-képzési törvény
Néhány szekvencia leírható a képlet, amely a feltételeket generálja. Ezt a képletet a képződés törvényének nevezik. A kialakulás törvényét használjuk arra, hogy bármilyen kifejezést találjunk a szekvenciában, amikor ismerjük annak viselkedését.
1. példa:
A következő sorrendet alkotja tökéletes négyzetek:
(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )
Ezt a sorrendet a kialakulás törvényével írhatjuk le:
Anem = (n - 1) ²
n → kifejezés száma
Anem → a pozíció kifejezés nem
Ezzel a képlettel meg lehet tudni például azt a kifejezést, amely a 10-es pozíciót foglalja el a sorozatban:
A10 = ( 10 – 1) ²
A10 = 9²
A10 = 81
2. példa:
Sorolja fel annak a szekvenciának a feltételeit, amelynek a kialakulási törvénye anem = 2n - 5.
A felsoroláshoz megtaláljuk az első kifejezéseket a sorrendben:
1. ciklus:
Anem = 2n - 5
A1 = 2·1 – 5
A1 = 2 – 5
A1 = – 3
2. ciklus:
Anem = 2n - 5
A2 = 2·2 – 5
A2 = 4 – 5
A2 = – 1
3. ciklus:
Anem = 2n - 5
A3 = 2·3 – 5
A3 = 6 – 5
A3 = 1
4. ciklus:
Anem = 2n - 5
A4 = 2·4 – 5
A4 = 8 – 5
A4 = 3
5. ciklus:
A5 = 2n - 5
A5 = 2·5 – 5
A5 = 10 – 5
A5 = 5
Tehát a sorrend:
(– 1, 1, 3, 5 … )
Lásd még: Római számok — numerikus rendszer, amely betűket használ az értékek és mennyiségek ábrázolására
Számtani progresszió és geometriai progresszió
Léteznek a szekvenciák speciális esetei amelyeket számtani progressziónak és geometriai progressziónak nevezünk. A szekvencia akkor haladás, ha van oka a kifejezésnek az utódjára.
számtani progresszió
Amikor ismerjük a sorozat első tagját és a második megtalálásáhozhozzátesszük az első egy értékre r és a harmadik kifejezés megtalálásához hozzáadjuk a másodikat ehhez az értékhez. r, és így tovább, a húr besorolása a számtani progresszió.
Példa:
(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)
Ez az aritmetikai progresszió az arány 4-nek, az első tag pedig 1-nek felel meg.
Ne feledje, hogy a szekvencia számának utódjának megtalálásához csak adjon hozzá 4-et, tehát azt mondjuk, hogy 4 az oka ennek a számtani progressziónak.
Geometriai progresszió
Nál nél geometriai progresszió, ennek is oka van, de ebben az esetben egy kifejezés utódjának megtalálásához meg kell szorozni a kifejezést az aránnyal.
Példa:
(2, 6, 18, 54, 162, … )
Ez az arány geometriai progressziója egyenlő 3-mal és az első tag egyenlő 2-vel.
Vegye figyelembe, hogy egy szám utódjának megtalálásához ebben a sorrendben egyszerűen szorozzon 3-mal, ami ennek a geometriai progressziónak az arányát 3-ra teszi.
megoldott gyakorlatoka számsorról
1. kérdés - A sorrendet (1, 4, 9, 16, 25,…) elemezve elmondhatjuk, hogy a következő két szám a következő lesz:
A) 35 és 46.
B) 36 és 49.
C) 30 és 41.
D) 41. és 66.
Felbontás
B. alternatíva
A szekvencia feltételeinek megtalálásához fontos megtalálni a szekvencia törvényszerűségét, vagyis megérteni annak előfordulási törvényét. Vegye figyelembe, hogy az első tagtól a másodikig hozzáadunk 3-at; a másodiktól a harmadik tagig 5-öt adunk hozzá; a harmadiktól a negyedikig, a negyediktől az ötödikig pedig hozzáadunk 7-et, illetve 9-et, így az összeg kettővel növekszik egységeket a szekvencia minden tagjához, vagyis a következőhöz hozzáadunk 11, majd 13, majd 15, majd 17 és így tovább egymás után. A 25 utódjának megtalálásához hozzáadunk 11-et.
25 + 11 = 36.
A 36 utódjának megtalálásához hozzáadunk 13-at.
36 + 13 = 49
Tehát a következő feltételek 36 és 49 lesznek.
2. kérdés - (AOCP Intézet) Ezután egy numerikus szekvenciát mutatunk be úgy, hogy ennek a szekvenciának az elemei voltak egy (logikai) képződési törvény betartásával rendezve, ahol x és y egész számok: (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y). Ennek a szekvenciának a figyelése és az x és y értékeinek megtalálása, az adott szekvencia kialakulásának törvényét követve helyes kijelenteni, hogy
A) x 30-nál nagyobb szám.
B) y jelentése 5-nél kisebb szám.
C) x és y összege 25-et eredményez.
D) x és y szorzata 106-ot eredményez.
E) y és x különbsége ebben a sorrendben pozitív szám.
Felbontás
C. alternatíva
Meg akarjuk találni ennek a szekvenciának a 7. és a 8. tagját.
A szekvencia (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y) előfordulásának törvényét elemezve megállapítható, hogy van logika a páratlan kifejezésekre (1. tag, 3. tag, 5. tag… ). Ne feledje, hogy a 3. tag egyenlő az 1. kifejezés mínusz 2-vel, mivel 24 - 2 = 22. Ugyanezt a logikát használva a 7., x-szel jelölt tag az 5. tag lesz mínusz 2, azaz x = 20 - 2 = 18.
Hasonló logika van a páros tagok esetében is (2. ciklus, 4. ciklus, 6. ciklus…): a 4. tag a 2. ciklus mínusz 2, mivel 13 - 2 = 11 stb. Azt akarjuk, hogy a 8. tag, amelyet y jelöl, akkor a 6. tag lesz mínusz 2, tehát y = 9 - 2 = 7.
Tehát x = 18 és y = 7. Az alternatívákat elemezve megvan, hogy x + y = 25, vagyis x és y összege 25-t eredményez.
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sequencia-numerica.htm
