A moduláris egyenlet a egyenlet hogy az első vagy a második tagban tartalmaz kifejezéseket a modulban. A modulus, más néven abszolút érték, a szám nullához való távolságához kapcsolódik. Mivel távolságról beszélünk, egy szám modulusa mindig pozitív. A moduláris egyenletfeladatok megoldásához a modulusdefiníció alkalmazása szükséges, általában az egyenletet osztjuk fel két lehetséges eset:
amikor a modul belsejében pozitív és
amikor a modul belsejében negatív.
Olvassa el: Mi a különbség a függvény és az egyenlet között?
egy valós szám modul
A moduláris egyenletproblémák megoldásához emlékezni kell a modulo definíciójára. A modul mindig ugyanaz, mint a egy számnak nullára kell esnie, és egy szám modulusát ábrázolni nem, az egyenes rudat a következőképpen használjuk: |nem|. A | számításáhoznem|, két esetre osztottuk:
Ezért azt mondhatjuk, hogy |nem| azonos a sajátéval nem amikor pozitív szám vagy nulla egyenlő, és a második esetben |nem| egyenlő az ellentétével nem ha negatív. Ne feledje, hogy a negatív szám ellentéte mindig pozitív, ezért a |
nem| mindig pozitív számmal megegyező eredménye van.Példák:
a) | 2 | = 2
b) | -1 | = - (- 1) = 1
Lásd még: Hogyan lehet megoldani a logaritmikus egyenletet?
Hogyan lehet megoldani a moduláris egyenletet?
A moduláris egyenlet megoldásának megtalálásához elemezni kell a lehetőségek mindegyikét, vagyis mindig két esetben fel kell osztani az egyes modulokat. A moduláris definíció ismerete mellett a moduláris egyenletek megoldása, elengedhetetlen tudni, hogyan lehet megoldani polinomegyenletek.
1. példa:
| x - 3 | = 5
Ennek az egyenletnek a megtalálásához fontos megjegyezni, hogy két lehetséges eredmény adhat |nem| = 5, ők azok, nem = -5, mivel | -5 | = 5, és szintén nem = 5, mert | 5 | = 5. Tehát ugyanazt az ötletet használva:
I → x - 3 = 5 vagy
II → x - 3 = -5
Az egyenletek egyikének külön megoldása:
I. határozat:
x - 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
II. Határozat:
x - 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
Tehát két megoldás létezik: S = {-2, 8}.
Vegye figyelembe, hogy ha x = 8, az egyenlet igaz, mert:
| x - 3 | = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Vegye figyelembe azt is, hogy ha x = -2, akkor az egyenlet is igaz:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
2. példa:
| 2x + 3 | = 5
Az 1. példához hasonlóan a megoldás megtalálásához két esetre is fel kell osztani, a modul definíciójának megfelelően.
I → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5
I. határozat:
2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
II. Határozat:
2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
x = -8/2
x = -4
Aztán a készlet megoldások értéke: S = {1, -4}.
3. példa:
| x + 3 | = | 2x - 1 |
Amikor két modul egyenlő, akkor két esetre kell osztanunk:
1. eset, ugyanazon jel első és második tagja.
2. eset, az ellentétes jelek első és második tagja.
I. határozat:
A két oldalt nullánál nagyobbra tesszük, vagyis egyszerűen eltávolítjuk a modulust. Megtehetjük mindkét negatívummal is, de az eredmény ugyanaz lesz.
X + 3 ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
2x - 1 ≥ 0 → | 2x - 1 | = 2x - 1
x + 3 = 2x - 1
x - 2x = -1 - 3
x = -4 (-1)
x = 4
II. Határozat:
Ellentétes jelek oldala. Az egyik oldalt pozitívnak, a másikat negatívnak választjuk.
Kiválasztása:
| x + 3 | ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
| 2x - 1 | <0 → | 2x –1 | = - (2x - 1)
Tehát:
x + 3 = - (2x - 1)
x + 3 = - 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3
Tehát a megoldások halmaza: S = {4, -2/3}.
Hozzáférhet továbbá: Mik az irracionális egyenletek?
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - (UFJF) A | 5x - 6 | moduláris egyenlet negatív megoldásainak száma = x² értéke:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Felbontás
E alternatíva
Meg akarjuk oldani a moduláris egyenletet:
| 5x - 6 | = x²
Tehát osszuk két esetre:
I. határozat:
5x - 6> 0 → | 5x - 6 | = 5x - 6
Tehát:
5x - 6 = x2
-x² + 5x - 6 = 0
Ne feledje, hogy a delta érték megmondja, hogy a másodfokú egyenlet hány megoldással rendelkezik:
a = -1
b = 5
c = -6
Δ = b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Mivel az 1 pozitív, ebben az esetben két valós megoldás létezik.
II. Határozat:
| 5x - 6 | <0 → | 5x - 6 | = - (5x - 6)
- (5x - 6) = x2
- 5x + 6 = x²
- x² - 5x + 6 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Mivel Δ ebben az esetben is pozitív, akkor két valós megoldás létezik, így a valós megoldások összessége 4.
2. kérdés - (PUC SP) A | 2x - 1 | egyenlet S megoldási halmaza = x - 1 értéke:
A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
Felbontás
A alternatíva
I. határozat:
| 2x - 1 | = 2x - 1
Tehát:
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
II. Határozat:
| 2x - 1 | = - (2x - 1)
- (2x - 1) = x - 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm