A identitásmátrix egy speciális fajtája központ. I. identitásmátrixként ismerjükn az n rendű négyzetmátrix, amelynek az átlóján lévő összes tag 1, és a főátlóhoz nem tartozó tagok értéke 0. Az identitásmátrixot a szorzás semleges elemének tekintjük, vagyis ha megszorozunk egy mátrixot M az identitásmátrix segítségével magát a mátrixot találjuk meg M.
Lásd még: Mi a mátrix meghatározója?
A cikk témái
- 1 - Összefoglaló az identitásmátrixról
-
2 - Mi az identitásmátrix?
- ? Identitásmátrix típusok
- 3 - Az identitásmátrix tulajdonságai
- 4 - Az identitásmátrix szorzása
- 5 - Megoldott feladatok az identitásmátrixon
Összegzés az identitásmátrixról
Az identitásmátrix az a négyzetmátrix, amelynek főátlóján az elemek 1-gyel, a többi elem pedig 0-val egyenlő.
Különböző sorrendű identitásmátrixok léteznek. A sorrend identitásmátrixát képviseljük n által I n.
Az identitásmátrix a mátrixszorzás semleges eleme, azaz \( A\cdot I_n=A.\)
A négyzetes mátrix és az inverz mátrix szorzata az azonosságmátrix.
Mi az identitásmátrix?
Az identitásmátrix a speciális típusú négyzetmátrix. Egy négyzetes mátrixot identitásmátrixnak nevezünk, ha a főátlón minden eleme 1, a többi eleme pedig 0. Ezután minden identitásmátrixban:
➝ Identitásmátrix típusok
Különböző sorrendű identitásmátrixok léteznek. a megrendelés n képviseli az In. Nézzük meg az alábbiakban más rendelések mátrixait.
1. rendelési azonosító mátrix:
\(I_1=\bal[1\jobbra]\)
2. rendelési azonosító mátrix:
\(I_2=\left[\begin{mátrix}1&0\\0&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
3. sorrend azonosító mátrix:
\(I_3=\left[\begin{mátrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
4. rendelési azonosító mátrix:
\(I_4=\left[\begin{mátrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
5. rendelési azonosító mátrix:
\(I_5=\left[\begin{mátrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
Egymás után különböző sorrendű identitásmátrixokat írhatunk.
Ne hagyd abba most... A nyilvánosság után van még valami ;)
Identitásmátrix tulajdonságai
Az identitásmátrixnak van egy fontos tulajdonsága, mivel a mátrixok közötti szorzás semleges eleme. Ez azt jelenti bármely mátrix az identitásmátrixszal szorozva egyenlő önmagával. Tehát adott az M mátrix sorrendje n,nekünk van:
\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)
Az identitásmátrix másik fontos tulajdonsága, hogy a négyzetmátrix szorzata és annak inverz mátrix az identitásmátrix. Adott egy M sorrendű négyzetmátrix n, M szorzata az inverzével a következőképpen adódik:
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
Olvasd el te is: Mi az a háromszögmátrix?
Az identitásmátrix szorzása
Amikor egy M mátrixot megszorozunk a sorrend azonossági mátrixával n, az M mátrixot kapjuk eredményül. Nézzünk alább egy példát a 2. rendű M mátrixnak a 2. rendű azonosságmátrixszal való szorzatára.
\(A\ =\ \left(\begin{mátrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{mátrix}\jobbra) \) Ez \(I_n=\left(\begin{mátrix}1&0\\0&1\\\end{mátrix}\jobbra)\)
Feltételezve, hogy:
\(A\cdot I_n=B\)
Nekünk van:
\(B\ =\left(\begin{mátrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{mátrix}\jobbra)\)
Tehát A szorzata \(Ban ben\) lesz:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)
Vegye figyelembe, hogy a B mátrix tagjai megegyeznek az A mátrix tagjaival, azaz:
\(A\cdot I_n=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]=A\)
Példa:
Lény M A Mátrix \(M=\ \left[\begin{mátrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{mátrix}\jobbra]\), számítsuk ki a mátrix közötti szorzatot M és a mátrix \(I_3\).
Felbontás:
A szorzást végrehajtva a következőket kapjuk:
\(M\cdot I_3=\left[\begin{mátrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{mátrix}\jobbra]\cdot\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end]{mátrix)}
\(M\cdot I_3=\left[\begin{mátrix}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1\ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot1 +4 cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 4 jobb]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{mátrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
Feladatokat oldott meg az identitásmátrixon
1. kérdés
Létezik egy 3-as rendű négyzetmátrix, amelyet a definiál \(a_{ij}=1 \) amikor \(i=j\) Ez \(a_{ij}=0\) Ez amikor \(i\neq j\). Ez a mátrix a következő:
A) \( \left[\begin{mátrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
B) \( \left[\begin{mátrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{mátrix}\jobbra]\)
W) \( \left[\begin{mátrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
D) \( \left[\begin{mátrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
ÉS) \( \left[\begin{mátrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
Felbontás:
Alternatíva D
A mátrix elemzése során a következőket kapjuk:
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)
Tehát a mátrix egyenlő:
\(\left[\begin{mátrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{mátrix}\jobbra]\)
2. kérdés
(UEMG) Ha az inverz mátrix \(A=\left[\begin{mátrix}2&3\\3&x\\\end{mátrix}\jobbra]\) é \( \left[\begin{mátrix}5&-3\\-3&2\\\end{mátrix}\jobbra]\), x értéke:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 9
Felbontás:
Alternatíva A
A mátrixokat megszorozva rájövünk, hogy szorzatuk megegyezik az identitásmátrixszal. Kiszámítjuk a mátrix második sorának szorzatát az inverze első oszlopával, a következőt kapjuk:
\(3\cdot5+x\cdot\left(-3\right)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(x=\frac{-15}{-3}\)
\(x=5\ \)
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Szeretne hivatkozni erre a szövegre egy iskolai vagy tudományos munkában? Néz:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Identitásmátrix"; Brazil iskola. Elérhető: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm. Hozzáférés dátuma: 2023. július 20.
A mátrixok alkalmazásának megértése fontos tény, hogy ne maradjunk le a felvételi vizsgán. A mátrixok felvételi vizsgákon történő alkalmazása úgy történik, hogy több mátrixfogalmat egy kérdésben összekapcsolunk.
Tanulja meg, hogyan kell kiszámítani az 1., 2. és 3. rendű négyzetmátrixok determinánsait. Ismerje meg Sarrus szabályának használatát. Ismerje a determinánsok tulajdonságait.
Értse itt a mátrixstruktúra definícióit és formalizálásait. Nézze meg az elemeinek kezelését és a különböző típusú mátrixokat is.
Kattintson ide, és ismerje meg, mi az a szimmetrikus mátrix. Ismerje meg tulajdonságait, és fedezze fel, miben különbözik az antiszimmetrikus mátrixtól.
Értsd meg, mi az a transzponált mátrix. Ismerje a transzponált mátrix tulajdonságait. Ismerje meg, hogyan találja meg egy adott mátrix transzponált mátrixát.
Tanulja meg kiszámítani a szorzást két mátrix között, valamint tudja, mi az identitásmátrix és mi az inverz mátrix.
Ismerje meg Cramer szabályát. Tanulja meg a Cramer-szabály használatával megoldásokat találni egy lineáris rendszerre. Lásd a Cramer-szabály kidolgozott példáit.
Ismered a Sarrus-szabályt? Ismerje meg, hogyan használhatja ezt a módszert a 3x3-as mátrixok determinánsának megtalálásához.
Kínos
Az angolból átvett szleng arra szolgál, hogy megjelöljön valakit, akit csicsásnak, szégyenteljesnek, elavultnak és divatjamúltnak tartanak.
Neurodiverzitás
Judy Singer által alkotott kifejezést az emberi elme viselkedésének sokféleségének leírására használják.
PL of Fake News
A PL2660 néven is ismert törvényjavaslat, amely mechanizmusokat hoz létre a közösségi hálózatok szabályozására Brazíliában.
