O gömb térfogata az általa elfoglalt hely geometriai szilárd. A sugarán keresztül labda — vagyis a középpont és a felület távolságából — ki lehet számítani a térfogatát.
Olvasd el te is: Geometriai testek térfogata
Összegzés a gömb térfogatáról
A gömb a kerek test az átmérőt tartalmazó tengely körüli félkör felforgatásával kapott.
A gömb minden pontja r-vel egyenlő vagy kisebb távolságra van a gömb középpontjától.
A gömb térfogata a sugár mértékétől függ.
A gömb térfogatának képlete a \(V=\frac{4·π·r^3}3\)
Videó lecke a gömb térfogatáról
Mi az a gömb?
Tekintsünk egy O pontot a térben és egy r mértékû szakaszt. a gömb az szilárdtest, amelyet minden olyan pont alkot, amelyek O-tól egyenlő vagy annál kisebb távolságra vannak. O-t a gömb középpontjának, r-t pedig a gömb sugarának nevezzük.
a gömb a forradalom szilárdjaként is jellemezhető. Vegye figyelembe, hogy egy félkört az átmérőjét tartalmazó tengely körül elforgatva gömb keletkezik:
Gömb térfogat képlete
Egy gömb V térfogatának kiszámításához az alábbi képletet használjuk, ahol r a gömb sugara:
\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)
Fontos megfigyelni a mértékegység sugár a térfogat mértékegységének meghatározásához. Például, ha r cm-ben van megadva, akkor a térfogatot cm³-ben kell megadni.
Hogyan kell kiszámítani a gömb térfogatát?
A gömb térfogatának kiszámítása csak a sugár mérésétől függ. Nézzünk egy példát.
Példa: π = 3 közelítéssel keresse meg egy 24 centiméter átmérőjű kosárlabda térfogatát.
Mivel az átmérő kétszerese a sugárnak, r = 12 cm. A gömb térfogatának képletét alkalmazva megvan
\(V=\frac{4·π·12^3}3\)
\(V=\frac{4 · π·1728}3\)
\(V=6 912\ cm^3\)
szféra régiói
Tekintsünk egy gömböt, amelynek középpontja O és sugara r. Mint ez, három régiót vehetünk figyelembe ebből a szférából:
A belső régiót azok a pontok alkotják, amelyek távolsága a középponttól kisebb, mint a sugár. Ha P a gömb belső tartományába tartozik, akkor
\(D(P, O)
A felületi régiót azok a pontok alkotják, amelyek távolsága a középponttól egyenlő a sugárral. Ha P a gömb felületi tartományába tartozik, akkor
\(D(P, O)=r\)
A külső régiót azok a pontok alkotják, amelyek távolsága a középponttól nagyobb, mint a sugár. Ha P a gömb belső tartományába tartozik, akkor
\(D(P, O)>r\)
Következésképpen a gömb külső területén lévő pontok nem tartoznak a gömbhöz.
Többet tud: Gömb alakú sapka – szilárd test, amelyet akkor kapunk, amikor a gömböt egy sík metszi
Egyéb gömbképletek
A gömb terület — vagyis felületének mérése — szintén ismert képlete van. Ha r a gömb sugara, akkor az A területét a következőképpen számítjuk ki
\(A=4·π·r^2\)
Ebben az esetben is fontos megjegyezni a sugár mértékegységét, hogy jelezze a terület mértékegységét. Például, ha r értéke cm, akkor A-t cm²-ben kell megadni.
Gyakorlatokat megoldott a gömb térfogatára
1. kérdés
Mekkora a gömb sugara, amelynek térfogata 108 köbcentiméter? (Használja a π = 3-at).
a) 2 cm
b) 3 cm
c) 4 cm
d) 5 cm
e) 6 cm
Felbontás
B alternatíva.
Gondold ezt meg r a gömb sugara. Tudva, hogy V = 108, használhatjuk a gömb térfogatának képletét:
\(V=\frac{4·π·r^3}3\)
\(108=\frac{4·3·r^3}3\)
\(108=4·r^3\)
\(r^3=27\)
\(r = 3\ cm\)
2. kérdés
Egy ősi gömb alakú tározó 20 méter átmérőjű és V térfogatú1. Egy második, V térfogatú tározót kívánnak építeni2, kétszer akkora térfogattal, mint a régi tározó. Szóval, V2 ez ugyanaz, mint
A) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)
B) \(\frac{3000·π}{4} m^3\)
w) \(\frac{2000·π}{3} m^3\)
d) \(\frac{4000·π}{3} m^3\)
Ez) \(\frac{8000·π}{3} m^3\)
Felbontás
E alternatíva.
Mivel az átmérő kétszerese a sugárnak, a régi tározó sugara r = 10 méter. Ebből adódóan
\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)
\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)
\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)
A nyilatkozat szerint \(V_2=2·V_1\), azaz
\(V_2=\frac{8000·π}3 m^3\)
Írta: Maria Luiza Alves Rizzo
Matematika tanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm
