A tangens (rövidítve tg vagy tan) az a trigonometrikus függvény. Egy szög érintőjének meghatározásához különböző stratégiákat alkalmazhatunk: számítsuk ki a szög szinuszának és koszinuszának arányát, ha ismertek; használjon érintőtáblát vagy számológépet; számítsa ki a szemközti és a szomszédos láb arányát, ha a kérdéses szög többek között egy derékszögű háromszög belső (éles) szöge.
Olvasd el te is: Mire használják a trigonometrikus kört?
összefoglaló az érintőről
Az érintő egy trigonometrikus függvény.
A derékszögű háromszög belső szögének érintője a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya.
Bármely szög érintője az adott szög szinuszának és koszinuszának aránya.
A funkció \(f (x)=tg\ x\) szögekre van meghatározva x radiánban kifejezve úgy, hogy cos \(cos\ x≠0\).
Az érintőfüggvény grafikonja az értékek függőleges aszimptotáit mutatja, ahol \(x= \frac{π}2+kπ\), val vel k egész, mint \(x=-\frac{π}2\).
Az érintők törvénye egy olyan kifejezés, amely bármely háromszögben két szög érintőit és a szögekkel szemközti oldalakat társítja.
Szög érintője
Ha α egy szög belső a derékszögű háromszög, az α érintője a szemközti láb hosszának és a szomszédos láb hosszának aránya:
Bármely α szög esetén az érintő az α sin és az α koszinuszának aránya, ahol \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Meg kell jegyezni, hogy ha α egy szög az 1. vagy 3. negyedben, az érintő pozitív előjelű lesz; de ha α a 2. vagy 4. kvadráns szöge, az érintő negatív előjelű lesz. Ez a kapcsolat közvetlenül az egyes α szinusz és koszinusz előjelei közötti előjelszabályból következik.
Fontos: Vegye figyelembe, hogy az érintő nem létezik α ahol értékeihez \(cos\ α=0\). Ez történik 90°, 270°, 450°, 630° és így tovább. A szögek általános ábrázolásához radián jelölést használunk: \(\frac{ π}2+kπ\), val vel k egész.
Figyelemre méltó szögek érintője
A kifejezés használatával \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), megkereshetjük az érintőit figyelemre méltó szögek, amelyek a 30°, 45° és 60° szögei:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
Érdekes: Ezeken kívül elemezhetjük a szintén széles körben használt 0° és 90° szögek érintőértékeit. Mivel sin 0° = 0, arra a következtetésre jutunk, hogy tan 0° = 0. A 90°-os szögnél, mivel cos90° = 0, az érintő nem létezik.
Hogyan kell kiszámítani az érintőt?
Az érintő kiszámításához a tg α=sin αcos α képletet használjuk, amelyet bármely szög érintőjének kiszámításához használunk. Nézzünk néhány példát alább.
1. példa
Keresse meg az alábbi derékszögű háromszögben az α szög érintőjét!
Felbontás:
Az α szöget tekintve a 6. mérték oldala a szemközti oldal, a 8. mérték oldala pedig a szomszédos oldal. Mint ez:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
2. példa
Ennek tudatában \(sin\ 35°≈0,573\) és cos\(35°≈0,819\), keresse meg a 35°-os érintő hozzávetőleges értékét.
Felbontás:
Mivel egy szög érintője a szög szinuszának és koszinuszának az aránya, a következőket kapjuk:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
érintő függvény
Az fx=tg x függvény szögekre van definiálva x radiánban kifejezve, tehát \(cos\ x≠0\). Ez azt jelenti, hogy az érintőfüggvény tartományát a következőképpen fejezzük ki:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Továbbá minden valós számok az érintőfüggvény képe.
→ Az érintőfüggvény grafikonja
Vegye figyelembe, hogy az érintőfüggvény grafikonja függőleges aszimptotákkal rendelkezik a hol értékekhez \(x= \frac{π}2+kπ\), val vel k egész, mint \(x=-\frac{π}2\). Ezekhez az értékekhez x, az érintő nincs definiálva (azaz az érintő nem létezik).
Lásd még: Mi az a domain, tartomány és kép?
érintők törvénye
Az érintők törvénye a kifejezés, amely asszociál, az a háromszög bármelyik, két szög érintője és az ezekkel a szögekkel szemközti oldalak. Vegyük például az alábbi ABC háromszög α és β szögeit. Figyeljük meg, hogy a CB = a oldal az α szöggel, az AC = b oldal pedig a β szöggel ellentétes.
Az érintők törvénye kimondja, hogy:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
trigonometrikus arányok
Hoz trigonometrikus arányok a derékszögű háromszögön megmunkált trigonometrikus függvények. Ezeket az arányokat az ilyen típusú háromszög oldalai és szögei közötti összefüggésekként értelmezzük.
Tangensen megoldott gyakorlatok
1. kérdés
Legyen θ a második kvadránsnak olyan szöge, hogy sin\(sin\ θ≈0,978\), tehát tgθ hozzávetőlegesen:
A) -4,688
B) 4,688
C) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Felbontás
Alternatíva A
ha \(sin\ θ≈0,978\), akkor a trigonometria alapvető azonosságát használva:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)
Mivel θ a második kvadráns szöge, akkor a cosθ negatív, ezért:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
Hamar:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
2. kérdés
Tekintsünk egy ABC derékszögű háromszöget, amelynek lábai AB = 3 cm és AC = 4 cm. A B szög érintője:
A) \(\frac{3}4\)
B) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
D) \(\frac{4}5\)
ÉS) \(\frac{5}3\)
Felbontás:
Alternatív C
A kijelentés szerint a szöggel ellentétes láb \(\kalap{B}\) az AC 4 cm-es és a szöggel szomszédos láb \(\kalap{B}\) AB, mérete 3 cm. Mint ez:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
Írta: Maria Luiza Alves Rizzo
Matematika tanár
