Apotheme: mi ez, példák, hogyan kell kiszámítani

O apotém A sokszög egy olyan szakasz, amelynek végpontjai a sokszög közepén és az egyik oldal felezőpontjában vannak. Ez a szakasz 90°-os szöget zár be a sokszög megfelelő oldalával.

Az apotém mértékének kiszámításához figyelembe kell venni a szóban forgó sokszög jellemzőit. A geometriai alakzattól függően lehetséges egy képlet összeállítása ennek a mértéknek a megszerzéséhez. Fontos megfigyelés, hogy egy szabályos sokszög apotémjének mértéke megegyezik a sokszögbe írt kerület sugarának mértékével.

Olvasd el te is: Mi az a felező?

A cikk témái

  • 1 - Összefoglaló az apotémről
  • 2 - Példák az apotémre
  • 3 - Melyek az apotém képletei?
    • Egyenlő oldalú háromszög apotém formula
    • A Square Formula apotémája
    • Szabályos hatszög apothem formula
    • Piramis Apothem képlet
  • 4 - Hogyan számítják ki az apotémet?
  • 5 - Megoldott gyakorlatok az apotémen

Összegzés az apotémről

  • Az apotém egy sokszög szakasza, amely összeköti a középpontot (a merőleges felezők találkozási pontját) az egyik oldal felezőpontjával.

  • Az apotém és a sokszög megfelelő oldala közötti szög 90°.

  • Egy szabályos sokszög apotémjének mértéke megegyezik a sokszögbe írt kör sugarának mértékével.

  • Egy egyenlő oldalú háromszög OM apotémája l képlet adja meg

\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)

  • Az oldal négyzetének OM apotémája l képlet adja meg

\(OM = \frac{l}2\)

  • Egy szabályos hatszög apotémája az egyik oldalon l képlet adja meg

\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)

  • A piramis apotémája az a szakasz, amely a csúcsot az alap egyik élének felezőpontjához köti, és ennek mértékét a Pitagorasz-tétellel kaphatjuk meg.

Ne hagyd abba most... A nyilvánosság után van még valami ;)

Példák az apotémra

Egy sokszög apotémjének megtalálásához meg kell alkotnunk a a sokszög középpontját az egyik oldal felezőpontjával összekötő vonalszakasz. Ne feledje, hogy a sokszög középpontja az a hely, ahol a felezők találkoznak.

Egyenlő oldalú háromszög, négyzet, szabályos ötszög és szabályos hatszög apotéma.
Egyenlő oldalú háromszög, négyzet, szabályos ötszög és szabályos hatszög apotéma.

Ezekben a példákban az apotémet sík sokszögekben vettük figyelembe. Van azonban egy űrobjektum, amelynek másfajta apotémája van: a piramis.

Egy piramisban kétféle apotém létezik: az alap apotémja, amely a piramis alapját képező sokszög apotémja, és a piramis apotémja, amely a szegmens, amely a csúcsot egy alapél felezőpontjához köti (azaz az alap oldallapjának magassága). piramis).

Az alábbi négyzetes alappéldában az OM szakasz az alap apotémája, a VM szakasz pedig a piramis apotémája, ahol M a BC felezőpontja.

négyzet alakú alappiramis
négyzet alakú alappiramis

Mik az apotém képletei?

A sokszög jellemzőinek, különösen a szabályos sokszögek ismeretében képleteket dolgozhatunk ki az apotém mértékének kiszámítására. Nézzük meg, melyek ezek a képletek a fő szabályos sokszögekre.

  • Egyenlő oldalú háromszög apotém formula

A egyenlő oldalú háromszög eset, az adott oldalhoz viszonyított magasság és medián megegyezik. Ez azt jelenti, hogy a sokszög középpontja egybeesik a barycenter a háromszögből. Így az O pont a következőképpen osztja fel az AM magasságot:

\(AO = \frac{2}3:00\) Ez \(OM=\frac{1}3:00\)

ABC egyenlő oldalú háromszög, lila színben.

Ne feledje, hogy az intézkedés egyenlő oldalú háromszög magassága l által adva:

\(Magasság\háromszög\ egyenlő oldalú=\frac{l\sqrt3}2\)

Ezért, mivel AM az ABC egyenlő oldalú háromszög magassága és az OM szakasz a háromszög apotémja, az OM mértékére a következő kifejezést dolgozhatjuk ki, figyelembe véve, hogy a háromszög oldala méri l:

\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)

\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)

  • A Square Formula apotémája

A tér esetében az apotém mértéke az oldalhossz felének felel meg. Így, ha O a négyzet középpontja, M az egyik oldal felezőpontja, és l a négyzet oldalának hossza, tehát az OM apotém képlete a következő

\(OM=\frac{l}2\)

  • Szabályos hatszög apothem formula

A szabályos hatszögben az apotém egy egyenlő oldalú háromszög magasságának felel meg, amelynek csúcsai az egyik oldal két végén és a sokszög közepén vannak. Az alábbi példában a szabályos hatszög OM apotémája az OCD egyenlő oldalú háromszög magassága, ahol M a CD felezőpontja.

Szabályos hatszög zöld színben és körülhatárolt apotém szegmenssel.

Mint korábban említettük, egy egyenlő oldalú háromszög magassága ismert. Így ha egy szabályos hatszög oldala mér l, akkor az OM apotém képlete az

\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)

  • Piramis Apothem képlet

A piramis apotémjének mértékét a Pitagorasz-tétel segítség. Az alábbi példában egy négyzet alakú piramisban a VOM háromszög egy téglalap, amelynek lábai VO és OM, valamint VM hipoténusz. Jegyezzük meg, hogy VO a piramis magassága, OM az alap apotémája, VM pedig a piramis apotémája.

Négyzet alapú piramis körülhatárolt apotém szegmenssel.
négyzet alakú alappiramis

Így a piramis apotémjének mértékének meghatározásához a Pitagorasz-tételt kell alkalmaznunk:

\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)

Óvatos! A VM egy egyenlő szárú háromszög magassága, nem egy egyenlő oldalú háromszög. Tehát ebben az esetben nem használhatjuk az egyenlő oldalú háromszög magasságának képletét.

Hogyan számítják ki az apotémet?

Egy sokszög vagy a gúla apotémjének kiszámításához használhatjuk a megszerkesztett képleteket, vagy társíthatjuk az apotémet a beírt kör sugarához.

  • 1. példa: Tegyük fel, hogy egy egyenlő oldalú háromszögbe egy 3 cm sugarú kör van beírva. Mi ennek a háromszögnek a mértéke?

Mivel egy sokszög apotémje megegyezik a beírt kör sugarával, ezért a háromszög apotémje 3 cm.

  • 2. példa: Mekkora a 4 cm-es oldalhosszúságú szabályos hatszög apotémája?

A szabályos hatszög apotémjének képletével \(l=4\) cm, muszáj

\(Mérése\ of\ apothem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)

Olvasd el te is: Mindent a háromszög nevezetes pontjairól

Gyakorlatokat oldott meg az apotémon

1. kérdés

Ha egy 4 cm magas piramis alapapotémája 3 cm, akkor a piramis apotémjének mértéke

a) 5 cm

b) 6 cm

c) 7 cm

d) 8 cm

e) 9 cm

Felbontás:

Egy piramisban megszerkeszthetünk egy derékszögű háromszöget, amelyben az egyik láb az alap apotémája, a másik láb a piramis magassága, a hipotenusz pedig a piramis apotémája. Így a Pitagorasz-tételt alkalmazva az x mérték hipotenúzára,

\(x^2=3^2+4^2\)

\(x = 5\ cm\)

Alternatíva A.

2. kérdés

Ha egy négyzet apotémája y cm, akkor a négyzet oldala az

A) \(\frac{1}3 év \) cm

B) \(\frac{1}2y \) cm

c) y cm

d) 2y cm

e) 3y cm

Felbontás

A négyzet apotémája a négyzet oldalhosszának fele. Ezért, ha az apotém mérete y cm, a négyzet mérete 2y cm.

Alternatíva D.

Írta: Maria Luiza Alves Rizzo
Matematika tanár

Szeretne hivatkozni erre a szövegre egy iskolai vagy tudományos munkában? Néz:

RIZZO, Maria Luiza Alves. "Apotém"; Brazil iskola. Elérhető: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/apotema.htm. Hozzáférés dátuma: 2023. május 16.

Ismerje meg, mi a háromszög baricentruma, és hogyan kell kiszámítani a derékszögű síkban, a tulajdonságainak ellenőrzése mellett.

Kattintson és tanulja meg, hogyan kell körülírt sokszögeket felépíteni, és tudjon meg többet a kerülettel való kapcsolatról.

Ismerje meg, mi a hatszög, és ismerje osztályozását, jellemzőit és tulajdonságait. Tanulja meg a képleteket is a terület és a kerület kiszámításához.

Kattintson ide, megtudja, mi a merőleges felező, és megtudja, hogyan kell megépíteni. Ismerje meg a háromszög merőleges felezője, mediánja, felezője és magassága közötti különbségeket is.

Ismerje meg, mi a piramis, és nézze meg a fő elemeit. Nézze meg a különböző típusú piramisokat, és hogyan számíthatja ki térfogatukat és területüket.

Ismerje meg, mi a szabályos sokszög, és különböztesse meg a szabályos sokszögeket a szabálytalan sokszögektől. Számítsa ki egy szabályos sokszög területét és kerületét is.

Tanulja meg, hogyan kell kiszámítani egy szakasz felezőpontját az analitikai geometria segítségével!

Nézze meg itt a háromszög nevezetes pontjait, és ismerje meg főbb tulajdonságait. Tekintse meg azt is, hogy ezek a pontok hogyan segíthetik elő bizonyos problémák megoldását.

Kattintson ide, hogy megtudja, mik azok a négyzetek, más geometriai alakzatokra jellemző jellemzőik és konkrét tulajdonságaik.

A Pitagorasz-tétel a háromszögek tanulmányozásának egyik legfontosabb eszköze. Kattintson ide, ismerje meg formuláját, és ismerje meg, hogyan kell alkalmazni!

Encceja 2023 válaszlap: nézd meg!

O Encceja 2023 válaszkulcs már elérhető konzultációra. A vizsgákra augusztus 27-én került sor. Né...

read more

Kék szeptember: mi ez, fontosság, miért a szín

Osszeptember Azul egy olyan kezdeményezés, amelyet évente szeptemberben tartanak meg azzal a céll...

read more

Vitória születésnapja: Espírito Santo fővárosa 472 éves

Városa Vitória idén szeptember 8-án lesz 472 éves. Brazília építésének több mint négy évszázados ...

read more