Transzponált mátrix: mi ez, tulajdonságok, példák

A transzponált mátrix az M mátrix az M mátrix^t. a központ hogy meg fogjuk kapni amikor átírjuk az M mátrixot a sorok és oszlopok helyzetének megváltoztatásával, átalakítva M első sorát M első oszlopává^t, az M második oszlopa az M második oszlopában^t, stb.

Ha az M mátrix rendelkezik m vonalak és nem oszlopok, transzponált mátrixa, azaz M^t, lesz nem vonalak és m oszlopok. A transzponált mátrixnak vannak speciális tulajdonságai.

Olvassa el: Mi a háromszög alakú mátrix?

Hogyan kapjuk meg az átültetett mátrixot?

Adott egy A mátrix_mxn, úgy ismerjük, mint az A-ból az A mátrixba transzponált mátrix^t_{n x m}. Az átültetett mátrix megtalálásához egyszerűen változtassa meg a pozíciót az A mátrix sorainak és oszlopainak Bármi legyen is az A mátrix első sora, az a transzponált A mátrix első oszlopa lesz^t, az A mátrix második sora az A mátrix második oszlopa lesz^t, stb.

Algebrailag legyen M = (m_ij)_mxnaz M transzponált mátrixa M^t = (m_ji) _{n x m}.

Példa:

Keresse meg a mátrixból transzponált mátrixot:

Az M mátrix 3x5 mátrix, tehát transzpozíciója 5x3 lesz.

instagram story viewer

Az átültetett mátrix megtalálásához az M mátrix első sorát az M mátrix első oszlopává tesszük^t.

Az M mátrix második sora az átültetett mátrix második oszlopa lesz:

Végül az M mátrix harmadik sora az M mátrix harmadik oszlopa lesz.^t:

szimmetrikus mátrix

Az átültetett mátrix fogalma alapján meghatározható, hogy mi is az a szimmetrikus mátrix. A mátrix szimmetrikus amikor egyenlő az átültetett mátrixoddal, vagyis az M mátrixot figyelembe véve M = M^t.

Hogy ez megtörténjen, a mátrixnak négyzet alakúnak kell lennie, ami azt jelenti, hogy a mátrix szimmetrikus legyen, a sorok számának meg kell egyeznie az oszlopok számával.

Példa:

Amikor elemezzük a főátló felett és a főátló alatt található kifejezések az S mátrixból látható, hogy vannak olyan kifejezések, amelyek ezek ugyanazok, amely szimmetrikusnak nevezi pontosan a mátrix fõátlójához viszonyított szimmetriája miatt.

Ha megtaláljuk az S mátrix transzpozícióját, akkor láthatjuk, hogy S^t egyenlő S-vel.

Mivel S = S^t, ez a mátrix szimmetrikus.

Lásd még: Hogyan lehet megoldani a lineáris rendszereket?

Átültetett mátrix tulajdonságok

1. ingatlan: az átültetett mátrix transzpozíciója megegyezik magával a mátrixszal:

(M^t)^t = M

2. ingatlan: a mátrixok közötti összeg átültetése megegyezik az egyes mátrixok átültetésének összegével:

(M + N)^t = M^t+ N^t

3. tulajdonság: átültetése szorzás két mátrix között egyenlő az egyes mátrixok transzpozíciójának szorzatával:

(M · N)^t = M^t · N^t

4. ingatlan: O döntő A mátrix értéke megegyezik az átültetett mátrix determinánsával:

det (M) = det (M^t)

5. ingatlan: a mátrix transzpozíciója az állandó megegyezik a mátrix transzponálásának az állandó szorzatával:

(kA)^t = kA^t

Fordított mátrix

Az inverz mátrix fogalma egészen más, mint az átültetett mátrix fogalma, és fontos hangsúlyozni a köztük lévő különbséget. Az M mátrix inverz mátrixa az M mátrix^-1, ahol az M és M mátrix közötti szorzat^-1 egyenlő az identitásmátrixszal.

Példa:

Ha többet szeretne megtudni az ilyen típusú mátrixról, olvassa el a szövegünket: Fordított mátrix.

ellentétes mátrix

Egy speciális mátrix újabb esete, az M mátrixszal ellentétes mátrix az -M mátrix. M = (m.) Ellentétes mátrixaként ismerjük_ij) a mátrix -M = (-m_ij). Az ellentétes mátrix az M mátrix ellentétes tagjaiból áll.