AZ 1. fokú egyenlet olyan egyenlet, amelynek 1. fokú ismeretlenje van. Az egyenletek olyan matematikai mondatok, amelyekben ismeretlenek vannak, amelyek ismeretlen értékeket és egyenlőséget jelentő betűk. Az 1. fokú egyenlet matematikai mondata az Azx + B = 0, ahol Az és B valós számok, és Az eltér a 0-tól. Az 1. fokú egyenlet felírásának az a célja, hogy megtudjuk, mekkora az ismeretlen értéke, amely kielégíti az egyenletet. Ezt az értéket az egyenlet megoldásának vagy gyökének nevezik.
Olvasd el te is: Exponenciális egyenlet – az az egyenlet, amelynek az egyik kitevőjében legalább egy ismeretlen szerepel
Témák ebben a cikkben
- 1 - Az 1. fokú egyenlet összefoglalása
- 2 - Mi az 1. fokú egyenlet?
-
3 - Hogyan számítsuk ki az elsőfokú egyenletet?
- → 1. fokú egyenlet ismeretlennel
- ? 1. fokú egyenlet két ismeretlennel
- 4 - Az 1. fokozat egyenlete Enemben
- 5 - Megoldott gyakorlatok az 1. fokú egyenletre
1. fokú egyenlet összefoglalása
Az 1. fokú egyenlet egy matematikai mondat, amelyben 1 fokos ismeretlenek vannak.
Az egy ismeretlennel rendelkező 1. fokú egyenletnek egyedi megoldása van.
Az a matematikai mondat, amely az 1. fokú egyenletet egy ismeretlennel írja le Azx + B = 0.
Egy ismeretlennel rendelkező 1. fokú egyenlet megoldásához az egyenlőség mindkét oldalán műveleteket hajtunk végre, hogy elkülönítsük az ismeretlent és megtaláljuk az értékét.
A két ismeretlennel rendelkező 1. fokú egyenletnek végtelen megoldása van.
Az a matematikai mondat, amely leírja az 1. fokú egyenletet két ismeretlennel Azx + By + c = 0
Az 1. fokú egyenlet egy visszatérő kifejezés az Enemben, amely általában olyan kérdéseket tartalmaz, amelyek a szöveg értelmezését és az egyenlet összeállítását igénylik a megoldás előtt.
Mi az 1. fokú egyenlet?
Az egyenlet egy matematikai mondat, amely egyenlőséggel és egy vagy több ismeretlennel rendelkezik.. Az ismeretlenek ismeretlen értékek, és ábrázolásukra olyan betűket használunk, mint az x, y, z.
Az egyenlet mértékét az ismeretlen kitevője határozza meg. És így, amikor az ismeretlen kitevőjének 1. foka van, akkor van egy 1. fokú egyenletünk. Lásd az alábbi példákat:
2x + 5 = 9 (1. fokú egyenlet egy ismeretlennel, x)
y – 3 = 0 (1. fokú egyenlet egy ismeretlennel, y)
5x + 3y – 3 = 0 (1. fokú egyenlet két ismeretlennel, x és y)
Ne hagyd abba most... A hirdetés után van még több ;)
Hogyan számítsuk ki az elsőfokú egyenletet?
Egy adott helyzetet egyenletként ábrázolunk, amikor arra törekszünk találja meg azokat az értékeket, amelyeket az ismeretlen felvehet, ami igazzá teszi az egyenletet, azaz keresse meg az egyenlet megoldásait vagy megoldását. Nézzük meg az alábbiakban, hogyan találjuk meg a megoldást egy 1. fokú egyenletre egy ismeretlennel és egy 1. fokú egyenletre két ismeretlennel.
→ 1. fokú egyenlet egy ismeretlennel
AZ 1. fokú egyenlet egy ismeretlennel a típus egyenlete:
\(ax+b=0\ \)
Ebben a mondatban Az és B valós számok. Hivatkozásként az egyenlőség szimbólumot használjuk. Előtte megvan az egyenlet 1. tagja, az egyenlőségjel után pedig az egyenlet 2. tagja.
Ennek az egyenletnek a megoldásához megpróbáljuk elkülöníteni az x változót. vonjuk ki B az egyenlet mindkét oldalán:
\(ax+b-b=0-b\ \)
\(ax=-\ b\)
Most osztjuk vele Az mindkét oldalon:
\(\frac{ax}{a}=\frac{-b}{a}\)
\(x=\frac{-b}{a}\)
Fontos:Az egyenlet mindkét oldalán végrehajtott műveletnek ezt a folyamatát gyakran úgy írják le, mint „átlépés a másik oldalra” vagy „átlépés a másik oldalra a fordított műveletet végrehajtva”.
1. példa:
Keresse meg az egyenlet megoldását:
2x - 6 = 0
Felbontás:
Az x változó elkülönítéséhez adjunk hozzá 6-ot az egyenlet mindkét oldalához:
\(2x-6+6\ =0+6\)
\(2x=6\)
Most mindkét oldalról elosztjuk 2-vel:
\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\)
\(x=3\ \)
Megoldást találunk az x = 3 egyenletre. Ez azt jelenti, hogy ha x helyére 3-at cserélünk, az egyenlet igaz lesz:
\(2\cdot3-6=0\)
\(6-6=0\ \)
\(0=0\)
2. példa:
Az egyenletet közvetlenül a gyakorlati módszerrel tudjuk megoldani:
\(5x+1=-\ 9\)
Először is határozzuk meg, hogy mi az egyenlet első tagja és mi az egyenlet második tagja:
Az egyenlet megoldásának megtalálásához elkülönítjük az ismeretlent az egyenlet első tagján. Ehhez ami nem ismeretlen, az átkerül a + 1-gyel kezdődő inverz műveletet végző második tagnak. Az összeadás során a második taghoz kerül kivonással:
\(5x+1=-\ 9\ \)
\(5x=-\ 9-1\ \)
\(5x=-\ 10\)
Az x értékét akarjuk, de megtaláljuk az 5x értékét. Mivel az 5 megszorozza x-et, az inverz művelet végrehajtásával átmegy a jobb oldalra szorzás, azaz felosztás.
\(5x=-\ 10\)
\(x=\frac{-10}{5}\)
\(x=-\ 2\)
Ennek az egyenletnek a megoldása x = - 2.
3. példa:
Oldja meg az egyenletet:
\(5x+4=2x-6\)
Ennek az egyenletnek a megoldásához először azokat a kifejezéseket helyezzük el, amelyeknek az első tagja ismeretlen, a második tagra pedig azokat, amelyekben nincs ismeretlen. Ehhez azonosítsuk őket:
\({\szín{piros}5}{\szín{piros}x}+ 4 = {\szín{piros}2}{\szín{piros}x}\ –\ 6\)
Piros színűek azok a kifejezések, amelyekben ismeretlen, 5x és 2x, feketén pedig azok, amelyekben nincs ismeretlen. Mivel a + 4-nek nincs ismeretlen, adjuk át a második tagnak kivonással.
\(\szín{piros}{5x}=\szín{piros}{2x}-6-4\)
Vegye figyelembe, hogy a 2x-nek van egy ismeretlen, de a második tagban van. Átadjuk az első tagnak, kivonva 5x-et:
\({\szín{piros}{5x}-\szín{piros}{2x}=-6-4}\)
\(3x = -10\)
Most, áthaladva a 3 elosztáson, a következőt kapjuk:
\(x=-\frac{10}{3}\)
Fontos: Az egyenlet megoldása lehet tört, mint a fenti példában.
◆ Videó lecke az 1. fokú egyenletről egy ismeretlennel
➝ 1. fokú egyenlet két ismeretlennel
Ha van egy elsőfokú egyenlet, amelyben két ismeretlen van, akkor nincs egyetlen megoldás, hanem végtelen megoldások. Egy elsőfokú egyenlet két ismeretlennel a következő típusú egyenlet:
\(ax+by+c=0\)
Az egyenlet néhány végtelen megoldásának megtalálásához értéket rendelünk az egyik változóhoz, és megkeressük a másik változó értékét.
Példa:
Keressen 3 lehetséges megoldást az egyenletre:
\(2x+y+3=0\)
Felbontás:
3 megoldás megtalálásához választunk néhány értéket az x változóhoz, kezdve x = 1-gyel:
\(2\cdot1+y+3=0\)
\(2+y+3=0\ \)
\(y+5=0\)
Az y-t az első tagban elkülönítve a következőt kapjuk:
\(y=0-5\)
\(y=-\ 5\)
Tehát az egyenlet lehetséges megoldása x = 1 és y = - 5.
Az egyenlet még egy megoldásának megtalálásához rendeljünk új értéket bármelyik változóhoz. Azt csináljuk, hogy y = 1.
\(2x+1+3=0\ \)
\(2x+4=0\ \)
x elkülönítése:
\(2x=-\ 4\ \)
\(x=\frac{-4}{2}\)
\(x=-\ 2\)
Ennek az egyenletnek a második megoldása x = - 2 és y = 1.
Végül, hogy megtaláljuk a harmadik megoldást, új értéket választunk az egyik változóhoz. Azt csináljuk, hogy x = 0.
\(2\cdot0+y+3=0\)
\(0+y+3=0\)
\(y+3=0\ \)
\(y=0-3\)
\(y=-\ 3\ \)
A harmadik megoldás x = 0 és y = -3.
Ezt a három megoldást (x, y) formájú rendezett párokként ábrázolhatjuk. Az egyenletre a következő megoldásokat találták:
\(\left (1,-5\right);\ \left(-2,\ 1\right);\left (0,-3\right)\)
Fontos: Mivel ennek az egyenletnek két ismeretlenje van, végtelen megoldásunk van. A változók értékeit véletlenszerűen választottuk ki, így más, teljesen eltérő értékeket is tudtunk rendelni a változókhoz, és három másik megoldást is találtunk az egyenletre.
Többet tud: 2. fokú egyenlet – hogyan kell kiszámítani?
1. fokú egyenlet az Enemben
Az Enem 1. fokú egyenleteit tartalmazó kérdésekhez a jelöltnek tudnia kell problémahelyzeteket egyenletté alakítani, megnyilatkozási adatok felhasználásával. Az érthetőség kedvéért lásd: Matematika terület 5 kompetencia.
5. terület kompetenciája: Társadalmi-gazdasági vagy műszaki-tudományos változókat tartalmazó problémák modellezése és megoldása algebrai reprezentációk segítségével.
Vegyük észre, hogy az Enemben elvárás, hogy a vizsgázó képes legyen modellezni mindennapi életünk problémás helyzeteit és egyenlet segítségével megoldani azokat. Ezen a kompetencián belül két konkrét készség van, amelyek egyenleteket tartalmaznak, amelyeket Enem fel akar mérni: a 19-es és a 21-es készség.
H19: Azonosítson olyan algebrai reprezentációkat, amelyek kifejezik a mennyiségek közötti kapcsolatot.
H21: Oldjon meg egy problémahelyzetet, amelynek modellezése algebrai ismereteket foglal magában.
Tehát, ha Ön az Enem számára tanul, az I. fokú egyenletek feloldásának elsajátítása mellett fontos, hogy tanuljon a problémák értelmezésében. egyenletek, mert a problémahelyzetek egyenletként történő felírásával való modellezés képességének fejlesztése az Enem számára ugyanolyan fontos, mint a probléma megoldása. egyenlet.
Feladatokat megoldott az 1. fokú egyenletre
1. kérdés
(Enem 2012) Egy termék keresleti és kínálati görbéi azt a mennyiséget jelentik, amelyet az eladók, illetve a fogyasztók a termék árától függően hajlandóak eladni. Bizonyos esetekben ezek a görbék egyenes vonalakkal ábrázolhatók. Tegyük fel, hogy egy termék kínálatának és keresletének mennyiségét a következő egyenletek képviselik:
KO = –20 + 4P
KD = 46 - 2P
amelyben QO a kínálat mennyisége, QD a keresett mennyiség, P pedig a termék ára.
Ezekből a keresleti-kínálati egyenletekből a közgazdászok megtalálják a piaci egyensúlyi árat, vagyis amikor QO és QD egyenlő. A leírt helyzetre mennyi az egyensúlyi ár értéke?
a) 5
B) 11
C) 13
D) 23
E) 33
Felbontás:
B alternatíva
Az egyensúlyi ár meghatározásához egyszerűen egyenlőségjelet adunk a két egyenlethez:
\(Q_O=Q_D\)
\(–20+4P=46 –2P\)
\(4P+2P=46+20\)
\(6P=66\)
\(P=\frac{66}{6}\)
\(P=11\)
2. kérdés
(Enem 2010) A hármasugrás egy olyan atlétikai modalitás, amelyben a sportoló egy lábon ugrik, egy lépést és egy ugrást, ebben a sorrendben. Az egylábú felszállással végzett ugrás úgy történik, hogy a sportoló először ugyanazon a lábon szálljon le, amelyik a felszállást végezte; lépésben a másik lábával landol, ahonnan az ugrást végrehajtják.
Elérhető: www.cbat.org.br (adaptált).
A hármasugrás modalitású sportolója mozdulatainak tanulmányozása után rájött, hogy a másodiktól a első ugrásnál a távolság 1,2 m-rel, a harmadiktól a második ugrásig 1,5 m-rel csökkent. m. Ha ezen a versenyszámon szeretné elérni a 17,4 m-es célt, és tanulmányait figyelembe véve, az első ugrással elért távolságnak között kell lennie.
A) 4,0 m és 5,0 m.
B) 5,0 m és 6,0 m.
C) 6,0 m és 7,0 m.
D) 7,0 m és 8,0 m.
E) 8,0 m és 9,0 m.
Felbontás:
Alternatíva D
Az első ugrásnál x méteres távolságot ér el.
A második ugrásra az első ugráshoz képest 1,2 méterrel csökken a távolság, így eléri az x – 1,2 méteres távolságot.
A harmadik ugrásnál a távolság 1,5 m-rel csökken a második ugráshoz képest, így a harmadik ugrással megtett távolság x – 1,2 – 1,5 méter, ami megegyezik az x – 2,7 méterrel.
Tudjuk, hogy e távolságok összegének 17,4 méternek kell lennie, tehát:
\(x+x-1,2+x-2,7=17,4\)
\(3x-3,9=17,4\)
\(3x=17,4+3,9\)
\(3x=21,3\)
\(x=\frac{21,3}{3}\)
\(x=7,1\)
Így az első ugrással elért távolság 7,0 és 8,0 méter között van.
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
