A megoldásra használt egyik technika másodfokú egyenletek a néven ismert módszer teljes négyzetek. Ez a módszer a egyenlet nak,-nek másodikfokozat mint a tökéletes négyzet háromszög és írja meg a faktorált formáját. Néha ez az egyszerű eljárás már feltárja az egyenlet gyökereit.
Ezért alapvető ismeretekkel kell rendelkezni nevezetes termékek, háromtagúnégyzetTökéletes és polinomi faktorizálás hogy ezt a technikát használjam. Gyakran azonban lehetővé teszi a számítások elvégzését „fejben”.
Ezért felidézzük a Termékekfigyelemre méltó mielőtt bemutatná a módszerteljesíteninégyzetek, amely viszont három különböző esetben lesz kitéve.
Kiemelkedő termékek és tökéletes négyzet alakú trinomálisok
Ezután nézze meg a figyelemre méltó terméket, a háromtagúnégyzetTökéletes amely egyenértékű vele és az alakkal tényező ennek a trinomálisnak, ill. Ehhez vegye figyelembe, hogy x ismeretlen és A bármely valós szám.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k) (x + k)
(x - k)2 = x2 - 2kx + k2 = (x - k) (x - k)
A második fokozat egyenlete a harmadikra utal
termékfigyelemre méltó, az összeg és a különbség szorzataként ismert, a számításokat még könnyebb technikával oldhatjuk meg. Ennek eredményeként itt nem veszik figyelembe.Az egyenlet a tökéletes négyzet alakú trinomiális
Ha egy egyenlet nak,-nek másodikfokozat egy tökéletes négyzet alakú trinomiális, akkor az együtthatóit a következőképpen azonosíthatja: a = 1, b = 2k vagy - 2k és c = k2. Ennek ellenőrzéséhez hasonlítsa össze a másodfokú egyenletet az a-val háromtagúnégyzetTökéletes.
Ezért a egyenlet nak,-nek másodikfokozat x2 + 2kx + k2 = 0, mindig lehetőségünk lesz:
x2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√ [(x + k)2] = √0
| x + k | = 0
x + k = 0
x = - k
- x - k = 0
x = - k
Így a megoldás egyedi és egyenlő –k.
Ha egyenlet legyen x2 - 2kx + k2 = 0, ugyanezt tehetjük:
x2 - 2kx + k2 = 0
(x - k)2 = 0
√ [(x - k)2] = √0
| x - k | = 0
x - k = 0
x = k
- x + k = 0
- x = - k
x = k
Ezért a megoldás egyedi és egyenlő k-val.
Példa: Melyek a gyökerei egyenlet x2 + 16x + 64 = 0?
Vegye figyelembe, hogy az egyenlet a háromtagúnégyzetTökéletes, mivel 2k = 16, ahol k = 8 és k2 = 64, ahol k = 8. Így írhatunk:
x2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√ [(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = - 8
Itt az eredmény leegyszerűsödött, mivel már tudjuk, hogy a két megoldás azonos valós számmal lesz egyenlő.
Az egyenlet nem tökéletes négyzet alakú trinomiális
Azokban az esetekben, amikor a egyenlet nak,-nek másodikfokozat nem tökéletes négyzet alakú trinomiális, eredményeinek kiszámításához a következő hipotézist vehetjük figyelembe:
x2 + 2kx + C = 0
Vegye figyelembe, hogy ennek az egyenletnek a-vá alakulása háromtagúnégyzetTökéletes, csak cserélje le a C értékét k értékére2. Mivel ez egy egyenlet, ennek egyetlen módja k hozzáadása2 mindkét tagon, majd felcseréljük a C tag együtthatót. Néz:
x2 + 2kx + C = 0
x2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
x2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
Ezen eljárás után folytathatjuk az előző technikát, átalakítva a háromtagúnégyzetTökéletes figyelemre méltó termék és a végtagok négyzetgyökének kiszámítása.
x2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
(x + k)2 = k2 - Ç
√ [(x + k)2] = √ (k2 - Ç)
x + k = ± √ (k2 - Ç)
A ± jel akkor jelenik meg, amikor a egyenlet egy négyzetgyök, mert ezekben az esetekben a négyzetgyök eredménye a modul, amint az az első példában látható. Végül nem marad más hátra, mint:
x = - k ± √ (k2 - Ç)
Szóval, ezek egyenletek két eredménye van igazi és egyértelmű, vagy nincs valós eredmény, ha C> k2.
Például, számítsa ki x gyökeit2 + 6x + 8 = 0.
Megoldás: Vegye figyelembe, hogy 6 = 2,3x. Ezért k = 3 és ezért k2 = 9. Ezért a szám, amelyet hozzá kell adnunk mindkét taghoz, egyenlő 9-vel:
x2 + 6x + 8 = 0
x2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
x2 + 6x + 9 = 9-8
x2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√ [(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x ’= 1 - 3 = - 2
x ’’ = - 1 - 3 = - 4
Ebben az esetben az a ≠ 1 együttható
amikor az együttható A, ad egyenlet nak,-nek másodikfokozat, eltér az 1-től, csak ossza el az egész egyenletet az együttható számértékével A hogy aztán alkalmazza a két előző módszer egyikét.
Tehát a 2x egyenletben2 + 32x + 128 = 0, az egyedi gyökér értéke 8, mivel:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
x2 + 16x + 64 = 0
És a háromszoros egyenletben2 + 18x + 24 = 0, megvan a gyökér - 2 és - 4, mert:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
x2 + 6x + 8 = 0
Luiz Paulo Moreira
Matematikából végzett
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-metodo-completar-quadrados.htm