Belső felező tétel: mi ez, bizonyíték

A A belső felező tételt kifejezetten arra fejlesztették ki háromszögek és megmutatja, hogy amikor a háromszög egy szögének belső felezőjét nyomon követjük, akkor a felező metszéspontja a vele szemközti oldallal felosztja ezt az oldalt vonalszakaszok arányos az adott szög szomszédos oldalaival. A belső felező tétel alkalmazásával lehetőség van a háromszög oldalának vagy szakaszainak értékének meghatározására a köztük lévő arány segítségével.

Lásd még: Medián, szögfelező és háromszög magassága – mi a különbség?

A belső felező tétel összefoglalása:

  • A felező a sugár amely a szöget két egybevágó szögre osztja.

  • A belső felező tétel a háromszögekre jellemző.

  • Ez a tétel bizonyítja, hogy a felező felosztja a szemközti oldalt arányos szegmensek a szomszédos oldalakra szög.

Videó lecke a belső felező tételről

Ne hagyd abba most... A hirdetés után több is van ;)

Mi a felezőtétel?

Mielőtt megértenénk, mit mond a belső felező tétel, fontos tudni, hogy mi az szögfelező. Ez egy sugár, amely a szöget két egybevágó részre osztja., azaz két rész, amelyeknek azonos mértéke.

A narancssárgával jelölt A szög felezője.
Egy szög AD felezőjének lehatárolása.

Ha megértjük, mi a felező, észrevesszük, hogy egy háromszög belső szögében létezik. Ha behatároljuk a háromszög szögfelezőjét, akkor a szemközti oldalt két részre osztja. Ami a belső felezőt illeti, tétele azt mondja, hogy a vele felosztott két szakasz arányos a szög szomszédos oldalaival.

 Az ABC háromszög bézs színű, narancssárga élekkel és zölddel jelölt szöggel, amelyet egy BD felezővonal követ.

Vegye figyelembe, hogy a felező az AC oldalt két részre osztja, AD és DC szegmensre. A felezőtétel azt mutatja:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)

Többet tud: Pitagorasz-tétel – egy másik háromszögekre kifejlesztett tétel

A belső felező tétel bizonyítása

Az alábbi ABC háromszögben elhatároljuk a BD szakaszt, amely ennek a háromszögnek a felezőpontja. Továbbá nyomon követjük a CB oldalának és az AE szakaszának meghosszabbítását, párhuzamosan a BD-vel:

ABC háromszög bézs színben BD felezővel és AEB kiterjesztéssel

Az AEB szög kongruens a DBC szöggel, mert a CE a egyenes keresztirányban az AE és BD párhuzamos szakaszokra.

alkalmazva a Thalész tétele, arra a következtetésre jutottunk, hogy:

\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)

Most mi be kell mutatni, hogy BE = AB.

Mivel x az ABD és DBC szög mértéke, az ABE szöget elemezve a következőt kapjuk:

ABE = 180 - 2x

Ha y az EAB szög mértéke, akkor a következő helyzet áll fenn:

ABC háromszög bézs színű, BD felezővel, AEB kiterjesztéssel és ismeretlen szögekkel a kiterjesztésében.

Tudjuk, hogy a a háromszög belső szögeinek összege Az ABE 180°, így kiszámíthatjuk:

180 - 2x + x + y = 180

– x + y = 180 – 180

– x + y = 0

y = x

Ha az x és az y szög mértéke azonos, akkor az ABE háromszög az egyenlő szárú. Ezért az AB oldal = AE.

Mivel egy háromszög belső szögeinek összege mindig egyenlő 180°-kal, az ACE háromszögben a következőket kapjuk:

x + 180 - 2x + y = 180

– x + y = 180 – 180

– x + y = 0

y = x

Mivel y = x, az ACE háromszög egyenlő szárú. Ezért az AE és AC szegmensek egybevágóak. Az AE cseréje AC bemenetre ok, bebizonyosodott, hogy:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)

Példa:

Keresse meg x értékét a következő háromszögben:

ABC fehér háromszög 6, 8 és 3 + x oldalakkal, BD felezővel.

A háromszöget elemezve a következő arányt kapjuk:

\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)

Keresztszorzás:

6x = 8 ⋅ 3

6x = 24

\(x=\frac{24}{6}\)

x = 4

Olvasd el te is: A háromszög nevezetes pontjai – mik ezek?

Megoldott feladatok a belső felező tételre

1. kérdés

Az alábbi háromszögre nézve azt mondhatjuk, hogy x értéke:

 ABC fehér háromszög, 27, 30 és 18 oldalakkal, BD felezővel.

a) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

Felbontás:
Alternatíva D

A belső felező tételt alkalmazva a következő számítást kapjuk:

\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)

Keresztszorzás:

\(27x=18\ \bal (30-x\jobb)\)

\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)

\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)

\(45x\ =\ 540\ \)

\(x=\frac{540}{45}\)

\(x\ =\ 12\)

2. kérdés

Elemezze a következő háromszöget, tudva, hogy a méréseit centiméterben adták meg.

 ABC fehér háromszög 2x, 4x – 9 és 12 cm oldalakkal, BD felezővel.

Az ABC háromszög kerülete egyenlő:

A) 75 cm

B) 56 cm

C) 48 cm

D) 24 cm

E) 7,5 cm

Felbontás:

Alternatív C

A felezőtételt alkalmazva először megkeressük x értékét:

\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)

\(5\ \left (4x-9\right)=2x\cdot7\)

\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)

\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)

\(6x\ =\ 45\ \)

\(x=\frac{45}{6}\)

\(x\ =\ 7,5\)

Így az ismeretlen oldalak mértéke:

\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)

\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)

Emlékezve arra, hogy a mérőhossz használt volt a cm, a kerülete ennek a háromszögnek egyenlő:

P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm

Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár

Szeretne hivatkozni erre a szövegre egy iskolai vagy tudományos munkában? Néz:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Belső felező tétel"; Brazil iskola. Elérhető: https://preprod.brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm. Hozzáférés dátuma: 2022. április 04.

Afrikai Unió: mi az, résztvevők, célok

Afrikai Unió: mi az, résztvevők, célok

A Afrikai Unió által létrehozott nemzetközi szervezet az afrikai kontinens mind az 54 országa és ...

read more
Erdőtüzek típusai, okai, következményei

Erdőtüzek típusai, okai, következményei

te erdőtüzek olyan környezeti katasztrófák, amelyek akkor következnek be, amikor a tűz kikerül az...

read more

Hacker a CPMI-nél: tudja, mi a hacker

Walter Delgatti Neto hacker ma, augusztus 17-én a parlamenti vizsgálóbizottságnak (CPMI) küldött ...

read more