Belső felező tétel: mi ez, bizonyíték

A A belső felező tételt kifejezetten arra fejlesztették ki háromszögek és megmutatja, hogy amikor a háromszög egy szögének belső felezőjét nyomon követjük, akkor a felező metszéspontja a vele szemközti oldallal felosztja ezt az oldalt vonalszakaszok arányos az adott szög szomszédos oldalaival. A belső felező tétel alkalmazásával lehetőség van a háromszög oldalának vagy szakaszainak értékének meghatározására a köztük lévő arány segítségével.

Lásd még: Medián, szögfelező és háromszög magassága – mi a különbség?

A belső felező tétel összefoglalása:

  • A felező a sugár amely a szöget két egybevágó szögre osztja.

  • A belső felező tétel a háromszögekre jellemző.

  • Ez a tétel bizonyítja, hogy a felező felosztja a szemközti oldalt arányos szegmensek a szomszédos oldalakra szög.

Videó lecke a belső felező tételről

Ne hagyd abba most... A hirdetés után több is van ;)

Mi a felezőtétel?

Mielőtt megértenénk, mit mond a belső felező tétel, fontos tudni, hogy mi az szögfelező. Ez egy sugár, amely a szöget két egybevágó részre osztja., azaz két rész, amelyeknek azonos mértéke.

A narancssárgával jelölt A szög felezője.
Egy szög AD felezőjének lehatárolása.

Ha megértjük, mi a felező, észrevesszük, hogy egy háromszög belső szögében létezik. Ha behatároljuk a háromszög szögfelezőjét, akkor a szemközti oldalt két részre osztja. Ami a belső felezőt illeti, tétele azt mondja, hogy a vele felosztott két szakasz arányos a szög szomszédos oldalaival.

 Az ABC háromszög bézs színű, narancssárga élekkel és zölddel jelölt szöggel, amelyet egy BD felezővonal követ.

Vegye figyelembe, hogy a felező az AC oldalt két részre osztja, AD és DC szegmensre. A felezőtétel azt mutatja:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)

Többet tud: Pitagorasz-tétel – egy másik háromszögekre kifejlesztett tétel

A belső felező tétel bizonyítása

Az alábbi ABC háromszögben elhatároljuk a BD szakaszt, amely ennek a háromszögnek a felezőpontja. Továbbá nyomon követjük a CB oldalának és az AE szakaszának meghosszabbítását, párhuzamosan a BD-vel:

ABC háromszög bézs színben BD felezővel és AEB kiterjesztéssel

Az AEB szög kongruens a DBC szöggel, mert a CE a egyenes keresztirányban az AE és BD párhuzamos szakaszokra.

alkalmazva a Thalész tétele, arra a következtetésre jutottunk, hogy:

\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)

Most mi be kell mutatni, hogy BE = AB.

Mivel x az ABD és DBC szög mértéke, az ABE szöget elemezve a következőt kapjuk:

ABE = 180 - 2x

Ha y az EAB szög mértéke, akkor a következő helyzet áll fenn:

ABC háromszög bézs színű, BD felezővel, AEB kiterjesztéssel és ismeretlen szögekkel a kiterjesztésében.

Tudjuk, hogy a a háromszög belső szögeinek összege Az ABE 180°, így kiszámíthatjuk:

180 - 2x + x + y = 180

– x + y = 180 – 180

– x + y = 0

y = x

Ha az x és az y szög mértéke azonos, akkor az ABE háromszög az egyenlő szárú. Ezért az AB oldal = AE.

Mivel egy háromszög belső szögeinek összege mindig egyenlő 180°-kal, az ACE háromszögben a következőket kapjuk:

x + 180 - 2x + y = 180

– x + y = 180 – 180

– x + y = 0

y = x

Mivel y = x, az ACE háromszög egyenlő szárú. Ezért az AE és AC szegmensek egybevágóak. Az AE cseréje AC bemenetre ok, bebizonyosodott, hogy:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)

Példa:

Keresse meg x értékét a következő háromszögben:

ABC fehér háromszög 6, 8 és 3 + x oldalakkal, BD felezővel.

A háromszöget elemezve a következő arányt kapjuk:

\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)

Keresztszorzás:

6x = 8 ⋅ 3

6x = 24

\(x=\frac{24}{6}\)

x = 4

Olvasd el te is: A háromszög nevezetes pontjai – mik ezek?

Megoldott feladatok a belső felező tételre

1. kérdés

Az alábbi háromszögre nézve azt mondhatjuk, hogy x értéke:

 ABC fehér háromszög, 27, 30 és 18 oldalakkal, BD felezővel.

a) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

Felbontás:
Alternatíva D

A belső felező tételt alkalmazva a következő számítást kapjuk:

\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)

Keresztszorzás:

\(27x=18\ \bal (30-x\jobb)\)

\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)

\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)

\(45x\ =\ 540\ \)

\(x=\frac{540}{45}\)

\(x\ =\ 12\)

2. kérdés

Elemezze a következő háromszöget, tudva, hogy a méréseit centiméterben adták meg.

 ABC fehér háromszög 2x, 4x – 9 és 12 cm oldalakkal, BD felezővel.

Az ABC háromszög kerülete egyenlő:

A) 75 cm

B) 56 cm

C) 48 cm

D) 24 cm

E) 7,5 cm

Felbontás:

Alternatív C

A felezőtételt alkalmazva először megkeressük x értékét:

\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)

\(5\ \left (4x-9\right)=2x\cdot7\)

\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)

\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)

\(6x\ =\ 45\ \)

\(x=\frac{45}{6}\)

\(x\ =\ 7,5\)

Így az ismeretlen oldalak mértéke:

\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)

\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)

Emlékezve arra, hogy a mérőhossz használt volt a cm, a kerülete ennek a háromszögnek egyenlő:

P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm

Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár

Szeretne hivatkozni erre a szövegre egy iskolai vagy tudományos munkában? Néz:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Belső felező tétel"; Brazil iskola. Elérhető: https://preprod.brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm. Hozzáférés dátuma: 2022. április 04.

Közvetlen tranzitív ige: mi ez, hogyan lehet azonosítani

közvetlen tranzitív ige az, akinek verbális kiegészítés nem tartalmaz elöljárószót, például: „igy...

read more
A négyzet kerülete: hogyan kell kiszámítani, példák

A négyzet kerülete: hogyan kell kiszámítani, példák

O a tér kerülete és a ennek a geometriai alakzatnak a körvonalának mérése. Ne feledje, hogy a nég...

read more
Görög ábécé: a 24 görög betű és fordításuk

Görög ábécé: a 24 görög betű és fordításuk

O görög ábécé 24 betűből áll. A föníciai ábécéből származik, és befolyásolta a latin és cirill áb...

read more