Hatszög ez a poligon amelynek 6 oldala van. Szabályos, ha minden oldal és belső szög egybevágó egymással. Szabálytalan, ha nem rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal. Az első eset a legszélesebb körben tanulmányozott, mivel amikor a hatszög szabályos, akkor sajátos tulajdonságai és képletei vannak, amelyek lehetővé teszik a terület, a kerület és az apotém kiszámítását.
Olvasd el te is: Mi az a losangle?
Absztrakt a hatszögről
A hatszög egy 6 oldalú sokszög.
Szabályos, ha minden oldal egybevágó.
Szabálytalan, ha nem minden oldal egybevágó.
Egy szabályos hatszögben minden belső szög 120°.
Az összege szögek szabályos hatszög külső élei mindig 360°-osak.
A szabályos hatszög területének kiszámításához a következő képletet használjuk:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
O kerülete egy hatszög oldalainak összege. Ha rendszeres, akkor a következőkkel rendelkezünk:
P = 6 liter
A szabályos hatszög apotémjét a következő képlettel számítjuk ki:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
Ne hagyd abba most... A hirdetés után több is van ;)
Mi az a hatszög?
A hatszög bármely sokszög, amely 6 oldala van, tehát 6 csúcsa és 6 szöge. Mivel sokszögről van szó, egy zárt lapos alakzat, melynek oldalai nem metszik egymást. A hatszög visszatérő alakzat a természetben, mint a méhsejtekben, a szerkezetekben szerves kémia, bizonyos teknősök héjában és hópelyhekben.
Videó lecke a sokszögekről
hatszögű elemek
A hatszög 6 oldalból, 6 csúcsból és 6 belső szögből áll.
Csúcspontok: pont A, B, C, D, E, F.
oldalak: a szegmenseket \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
Belső szögek: szögek a, b, c, d, f.
A hatszögek osztályozása
A hatszögek, más sokszögekhez hasonlóan, kétféleképpen osztályozhatók.
szabályos hatszög
A hatszög szabályos, ha van minden egybevágó oldala — következésképpen a szögeik is egybevágóak lesznek. A szabályos hatszög az összes közül a legfontosabb, a legszélesebb körben tanulmányozott. Több szempontját, például a területet is ki lehet számítani meghatározott képletekkel.
Megfigyelés: A szabályos hatszög 6-ra osztható egyenlő oldalú háromszögek, azaz olyan háromszögek, amelyeknek minden oldala egyenlő.
→ szabálytalan hatszög
Szabálytalan hatszög az, amelyiknek van különböző intézkedésekkel. Lehet konvex vagy nem domború.
domború szabálytalan hatszög
a hatszög az konvex amikor megvan az összes belső szögek 180°-nál kisebbek.
→ Szabálytalan, nem domború hatszög
A hatszög nem konvex, ha van 180-nál nagyobb belső szögek°.
hatszög tulajdonságai
→ Az átlók száma egy hatszögben
Az első fontos tulajdonság az konvex hatszögben mindig 9 átló van. Ezt a 9 átlót megtaláljuk geometriailag:
Az átlókat algebrai úton is megtalálhatjuk, a következő képlet segítségével:
\(d=\frac{n\left (n-3\right)}{2}\)
Ha behelyettesítjük a 6-ot az egyenletbe, akkor a következőt kapjuk:
\(d=\frac{6\cdot\left (6-3\right)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
Tehát egy konvex hatszögnek mindig 9 átlója lesz.
Többet tud: Téglalap alakú blokkátló – szegmens, amely összeköti annak két csúcsát, amelyek nem ugyanazon a lapon vannak
→ Hatszög belső szögei
Hatszögben a belső szögeinek összege 720°. Ennek az összegnek a kiszámításához egyszerűen helyettesítse be a 6-ot a képletben:
\(S_i=180\bal (n-2\jobb)\)
\(S_i=180\bal (6-2\jobb)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
Egy szabályos hatszögben a belső szögek mindig 120°-osak lesznek, mert
720°: 6 = 120°
→ Szabályos hatszög külső szögei
Ami a külső szögeket illeti, tudjuk, hogy a Összegük mindig 360°. Mivel 6 külső szög létezik, mindegyik 60°-os lesz
360°: 6 = 60°
→ Szabályos hatszög apotém
A szabályos sokszög apotémjének tekinthetővonalszakasz összekötve a sokszög középpontját a középpont a te oldaladon. Mint tudjuk, a szabályos hatszög 6 egyenlő oldalú háromszögből áll, tehát az apotém megfelel ezen egyenlő oldalú háromszögek egyikének magasságának. Ennek a szegmensnek az értéke a következő képlettel számítható ki:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ a hatszög kerülete
A hatszög kerületének kiszámításához egyszerűen hajtsa végre a 6 oldalának összege. Ha a hatszög szabályos, akkor az oldalai egybevágóak, így a hatszög kerülete kiszámítható a következő képlettel:
P = 6 liter
→ szabályos hatszög terület
Mivel tudjuk, hogy a szabályos hatszög 6 egyenlő oldalú háromszögből áll, amelyek oldalai L méretűek, így a terület kiszámításához képletet lehet levezetni a területe egy háromszög egyenlő oldalú szorozva 6-tal.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
Vegye figyelembe, hogy lehetséges egyszerűsítés, osztva 2-vel, létrehozva a képletet a hatszög területének kiszámításához:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
Körbe írt hatszög
Azt mondjuk, hogy egy sokszög a-ba van beírva körméret amikor ő a körön belül van, és a csúcsai ennek a pontjai. A szabályos hatszöget körbe írva ábrázolhatjuk. Amikor elkészítjük ezt az ábrázolást, ellenőrizhető, hogy a kör sugarának hossza megegyezik a hatszög oldalának hosszával.
Tudja még: Kör és kerület – mi a különbség?
Körben körülírt hatszög
Azt mondjuk, hogy egy sokszöget kör ír le, ha a kerülete ezen a sokszögön belül van. Képezhetjük a körülírt szabályos hatszöget. Ebben az esetben a kör érinti a hatszög mindkét oldalának felezőpontját, ami a kör sugarát egyenlővé teszi a hatszög apotémével.
hatszögletű alapú prizma
AZ Síkmértan tanulmányainak alapja Térgeometria. O hatszög jelen lehet a geometriai szilárd testek alján, mint a prizmákban.
A térfogat meghatározásához a prizma, kiszámítjuk az alapterület és a magasság szorzatát. Mivel az alapja egy hatszög, annak hangerő kiszámítható:
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Olvasd el te is: Geometriai testek térfogata – hogyan kell kiszámítani?
Hatszögletű alappiramis
A hatszögletű prizmán kívül ott is vannak a piramisok hatszögletű alap.
felfedezni a piramis térfogata A hatszögletű alapból kiszámítjuk az alapterület, a magasság szorzatát, és elosztjuk 3-mal.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
Jegyezzük meg, hogy szorozunk és osztunk hárommal, ami lehetővé teszi a egyszerűsítés. Tehát egy hatszögletű piramis térfogatát a következő képlettel számítjuk ki:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Gyakorlatokat oldott meg hatszögön
1. kérdés
A föld szabályos hatszög alakú. Ezt a területet szögesdróttal szeretné körülvenni, hogy a vezeték 3-szor kerülje meg a területet. Tudva, hogy összesen 810 méter drótot költöttek a teljes terület bekerítésére, ennek a hatszögnek a területe kb.
(Használat \(\sqrt3=1,7\))
A) 5102 m²
B) 5164 m²
C) 5200 m²
D) 5225 m²
E) 6329 m²
Felbontás:
B alternatíva
A szabályos hatszög kerülete a
\(P=6L\)
Mivel 3 kört tettek meg, összesen 270 métert fordítottak egyetlen kör megtételére, hiszen tudjuk, hogy:
810: 3 = 270
Tehát nekünk van:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ méter\)
Az oldal hosszának ismeretében kiszámítjuk a területet:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\cdot1.7\)
\(A=5163,75 m^2\)
Kerekítéssel a következőket kapjuk:
\(A\kb.5164m^2\)
2. kérdés
(PUC - RS) Mechanikus hajtóműhöz szabályos hatszög alakú alkatrészt szeretne készíteni. A párhuzamos oldalak közötti távolság 1 cm, az alábbi ábra szerint. Ennek a hatszögnek az oldala ______ cm.
AZ) \(\frac{1}{2}\)
B) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
Ç) \(\sqrt3\)
D) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
E) 1
Felbontás:
B alternatíva
A szabályos hatszögről tudjuk, hogy apotémája a középponttól az egyik oldal felezőpontjáig terjedő mérték. Így az apotém a képen jelzett távolság fele. Tehát nekünk kell:
\(2a=1 cm\)
\(a=\frac{1}{2}\)
Az apotém ekkor egyenlő \(\frac{1}{2}\). Összefüggés van a hatszög és az apotém oldalai között, mert egy szabályos hatszögben:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
Mivel ismerjük az apotém értékét, behelyettesíthetjük \(a=\frac{1}{2}\) az egyenletben:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
A tört racionalizálása:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
