A vektor az a reprezentáció, amely meghatározza egy vektormennyiség nagyságát, irányát és irányát. A vektorok egyenes szakaszok, amelyek egyik végén nyíllal vannak orientálva.
A vektorokat egy betűvel és egy kis nyíllal nevezzük el.
A vektorok a vektormennyiségeket jellemzik, amelyek olyan mennyiségek, amelyek tájékozódást igényelnek, azaz irányt és irányt. Néhány példa: erő, sebesség, gyorsulás és elmozdulás. A számérték nem elég, le kell írni, hogy ezek a mennyiségek hol hatnak.
egy vektor modulusa
A vektor modulusa vagy intenzitása a numerikus értéke, amelyet az általa képviselt nagyság mértékegysége követ, például:
A modult oszlopok között jelöljük a nyíl vagy csak a betű megtartásával, sávok nélkül és nyíl nélkül.
A vektor hossza arányos a modulussal. Egy nagyobb vektor nagyobb modulust jelent.
a vektor modul 4 egység, míg a vektor
2 egységből áll.
Egy vektor iránya
A vektor iránya annak a támaszvonalnak a lejtése, amelyen meghatározásra került. Minden vektornak csak egy iránya van.
vektor értelme
A vektor irányát a nyíl mutatja. Ugyanaz az irány két irányt tartalmazhat, például felfelé vagy lefelé, valamint balra vagy jobbra.
Ha egy irányt pozitívnak fogadunk el, az ellenkező irányt, a negatívot mínusz előjellel ábrázoljuk a vektorszimbólum előtt.
Az eredményül kapott vektor
Az eredményül kapott vektor vektorműveletek eredménye, és ekvivalens vektorok halmazával. Célszerű tudni azt a vektort, amely egynél több vektor által kiváltott hatást reprezentálja.
Például egy testet ki lehet téve egy sor erőnek, és tudni akarjuk, milyen eredményt fognak ezek együttesen produkálni ezen a testen. Minden erőt egy vektor ábrázol, de az eredményt csak egy vektorral lehet ábrázolni: az eredő vektorral.
A kapott vektor, , vízszintes és jobb irányú, a vektorok összeadásának és kivonásának eredménye.
,
,
és
. Az eredményül kapott vektor azt mutatja, hogy a test ebben az irányban mozog.
A függőleges irányú vektorok azonos méretűek, azaz ugyanaz a modul. Mivel ellentétes jelentésűek, kiiktatják egymást. Ez azt mutatja, hogy a láda nem fog függőleges irányban elmozdulni.
A vektorok elemzésekor és
, amelyek azonos irányú és ellentétes irányúak, rájövünk, hogy az erő egy része jobbra "marad", mint a vektor
nagyobb, mint a
, vagyis a modulja
az nagyobb.
A kapott vektor meghatározásához vektorösszeadási és kivonási műveleteket végzünk.
Azonos irányú vektorok összeadása és kivonása
Val vel egyenlő érzékek, hozzáadjuk a modulokat és megtartjuk az irányt és az irányt.
Példa:
Grafikusan egymás után helyezzük el a vektorokat anélkül, hogy a moduljaikat megváltoztatnánk. Az egyik kezdetének egybe kell esnie a másik végével.
Az összeadás kommutatív tulajdonsága érvényes, mivel a sorrend nem változtat az eredményen.
Val vel ellentétes érzékek, kivonjuk a modulokat és megtartjuk az irányt. A kapott vektor iránya a legnagyobb modulusú vektoré.
Példa:
a vektor a maradék része
, visszavonás után
.
Az egyik vektor kivonása egyenértékű a másik ellentétével való összeadással.
Merőleges vektorok összeadása és kivonása
Két merőleges irányú vektor összeadásához a vektorokat modulusuk megváltoztatása nélkül mozgatjuk úgy, hogy az egyik eleje egybeessen a másik végével.
Az eredményül kapott vektor összekapcsolja az első elejét a második végével.
A két merőleges vektor közötti eredményül kapott vektor nagyságának meghatározásához illesztjük a két vektor kezdetét.
A kapott vektor modulusát a Pitagorasz-tétel határozza meg.
Ferde vektorok összeadása és kivonása
Két vektor ferde, ha irányaik között 0°, 90° és 180°-tól eltérő szöget zárnak be. A ferde vektorok összeadásához vagy kivonásához a paralelogramma és a sokszögvonal módszereket használjuk.
paralelogramma módszer
A két vektor közötti paralelogramma módszerének vagy szabályának végrehajtásához és a kapott vektor megrajzolásához kövesse az alábbi lépéseket:
Az első lépés az, hogy az origójukat ugyanabba a pontba helyezzük, és a vektorokkal párhuzamos vonalakat húzunk, így paralelogrammát alkotunk.
A második egy átlós vektor rajzolása a paralelogrammára, a vektorok uniója és a párhuzamos egyenesek uniója közé.
A szaggatott vonalak párhuzamosak a vektorokkal, és a kialakított geometriai alakzat egy paralelogramma.
A kapott vektor a vektorok origóját a párhuzamosokkal összekötő egyenes.
O a kapott vektor modulusa a koszinusztörvényből származik.
Ahol:
R a kapott vektor nagysága;
a a vektormodul ;
b a vektor modulusa ;
a vektorok irányai között bezárt szög.
A paralelogramma módszert használjuk egy vektorpár összeadására. Ha kettőnél több vektort szeretne összeadni, kettővel kell összeadnia őket. Az első kettő összegéből kapott vektorhoz hozzáadjuk a harmadikat és így tovább.
Kettőnél több vektor hozzáadásának másik módja a sokszögvonal módszer.
sokszögű vonal módszer
A sokszögű vonal módszerrel keressük meg a vektorok összeadásából származó vektort. Ez a módszer különösen akkor hasznos, ha kettőnél több vektort adunk össze, például a következő vektorokat ,
,
és
.
A módszer használatához a vektorokat úgy kell rendeznünk, hogy az egyik vége (nyíl) egybeessen a másik kezdetével. Fontos a modul, az irány és az irány megőrzése.
Miután az összes vektort sokszög alakú vonalba rendeztük, nyomon kell követnünk a kapott vektort, amely az első elejétől az utolsó végéig tart.
Fontos, hogy a kapott vektor zárja a sokszöget úgy, hogy a nyíl egybeessen az utolsó vektorban lévő nyíllal.
A kommutatív tulajdonság érvényes, mivel a plot-vektorok elhelyezésének sorrendje nem változtatja meg a kapott vektort.
vektorbontás
Egy vektor felbontása annyi, mint a vektort alkotó komponensek felírása. Ezek az összetevők más vektorok.
Minden vektor felírható más vektorok összetételeként, vektorösszeggel. Más szavakkal, felírhatunk egy vektort két vektor összegeként, amelyeket komponenseknek nevezünk.
Derékszögű koordinátarendszer segítségével, merőleges x és y tengellyel határozzuk meg a vektor összetevőit.
a vektor a komponensvektorok közötti vektorösszeg eredménye.
és
.
a vektor dönthető
derékszögű háromszöget alkot az x tengellyel. Így a komponensvektorok moduljait trigonometriával határozzuk meg.
Alkatrész modul ax.
Alkatrész modul ay.
a vektor modul a Pitagorasz-tételből származik.
Példa
Az erőt úgy hajtják végre, hogy egy blokkot lehúznak a talajról. Az 50 N modulus erő 30°-kal meg van döntve a vízszinteshez képest. Határozza meg ennek az erőnek a vízszintes és függőleges összetevőit!
Adat:
Valós szám szorzása vektorral
Ha egy valós számot megszorozunk egy vektorral, az eredmény egy új vektor lesz, amely a következő jellemzőkkel rendelkezik:
- Ugyanaz az irány, ha a valós szám nem nulla;
- Ugyanabban az irányban, ha a valós szám pozitív, és ellenkező irányba, ha negatív;
- A modulus a valós szám modulusának és a szorzott vektor modulusának a szorzata lesz.
Valós szám és vektor szorzata
Ahol: a szorzás eredményeként kapott vektor;
a valós szám;
a vektor szorzása folyamatban van.
Példa
Legyen a valós szám n = 3 és a vektor modulo 2, a köztük lévő szorzat egyenlő:
Modul számítás
Az irány és az irány ugyanaz lesz.
1. Feladat
(Enem 2011) A súrlódási erő olyan erő, amely a testek érintkezésétől függ. Ez a testek elmozdulási hajlamával ellentétes erőként határozható meg, és két érintkező felület közötti egyenetlenségek miatt jön létre. Az ábrán a nyilak a testre ható erőket jelölik, a kinagyított pont pedig a két felület között fennálló egyenetlenségeket.
Az ábrán az elmozdulást és a súrlódást okozó erőket reprezentáló vektorok:
Az) 
B) 
ç) 
d) 
és) 
Helyes válasz: a) betű 
A nyilak a vízszintes irányú mozgásban ható erővektorokat jelölik, akció-reakció páros lévén, ellentétes irányúak.
A függőleges nyilak a súlyerő és a normál erő hatását jelzik, és mivel egyenlőek, kiiktatják egymást anélkül, hogy függőleges irányban mozognának.
2. gyakorlat
(UEFS 2011) Az ábrán látható vektordiagram felvázolja azokat az erőket, amelyeket két gumiszalag fejt ki egy fogszabályozó kezelés alatt álló személy fogára.
Feltételezve, hogy F = 10,0 N, sen45° = 0,7 és cos45° = 0,7, a rugalmasság által a fogra kifejtett erő intenzitása N-ben egyenlő
a) 3√10
b) 2√30
c) 2√85
d) 3√35
e) 2√45
Helyes válasz: c) 2√85
A fogra ható erő intenzitását a koszinusz törvénye határozza meg.
a és b egyenlő 10 N.
A négyzetgyök faktorálása a következőket adja:
Ezért a gumiszalagok által a fogra kifejtett eredő erő intenzitása az .
3. gyakorlat
(PUC RJ 2016) Az ábrán látható F1, F2, F3 és F4 erők derékszöget zárnak be egymással, és moduljaik rendre 1 N, 2 N, 3 N és 4 N.
Számítsa ki a nettó erő modulusát N-ben!
a) 0
b) √2
c) 2
d) 2√ 2
e) 10
Helyes válasz: d) 2√ 2
Az eredményül kapott vektor meghatározásához a poligonális vonal módszert használjuk. Ehhez átrendezzük a vektorokat úgy, hogy az egyik vége egybeessen a másik kezdetével, így:
A kapott vektor elején origóval rendelkező koordinátarendszer segítségével meghatározhatjuk összetevőinek moduljait, a következők szerint:
Így a következőket kell tennünk:
Ry = 3 - 1 = 2 N
Rx = 4-2 = 2 N
A kapott vektor nagyságát a Pitagorasz-tétel határozza meg.
Ezért a nettó erő modulusa egyenlő .
tudj meg többet
- Vektorok: összeadás, kivonás és felbontás.
- Vektor mennyiségek
✖
