a készlet prímszámok a tanulmány tárgya matematika az ókori Görögországból. Euklidész az „Elemek” című nagy művében már tárgyalta a témát, és sikerült bebizonyítania, hogy ez készlet végtelen. Mint tudjuk, a prímszámok azok, amelyeknek osztója az 1, és ők maguk, így nagyon nagy prímszámok megtalálása nem egyszerű feladat, Eratoszthenész szitája pedig megkönnyíti ezt. találkozó.
Honnan tudod, hogy egy szám prím?
Tudjuk, hogy a prímszám aakinek van olyan osztó az 1-es szám és magát, tehát egy olyan szám, amelynek az osztólistájában 1-től eltérő számok vannak, és önmagában nem lesz prím, lásd:
A 11-es és 30-as elválasztók felsorolásával a következőket kapjuk:
D(11) = {1, 11}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Figyeljük meg, hogy a 11-es számnak csak az 1-es és önmagát osztja, tehát a a 11-es szám prímszám. Most nézzük meg a 30-as szám osztóit, az 1-en és önmagán kívül a 2-es, 3-as, 5-ös, 6-os és 10-es számokat osztókkal együtt tartalmazza. Ezért, a 30-as szám nem prímszám.
→ Példa: Sorolja fel a 15-nél kisebb prímeket.
Ehhez felsoroljuk az összes szám osztóit 2 és 15 között.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
Így a 15-nél kisebb prímek:
2, 3, 5, 7, 11 és 13
Valljuk be, ez a feladat nem lenne túl kellemes, ha például felírnánk az összes prímszámot 2 és 100 között. Ennek elkerülése érdekében a következő témakörben megtanuljuk használni Eratoszthenész szitáját.
Eratoszthenész szita
Eratoszthenész szitája a eszköz, amely a prímszámok meghatározását hivatott megkönnyíteni. A szita négy lépésből áll, és ezek megértéséhez szem előtt kell tartani a oszthatósági kritériumok. A lépésről lépésre történő lépés előtt létre kell hoznunk egy táblázatot a 2-től a kívánt számig, mivel az 1-es szám nem prímszám. Azután:
→ 1. lépés: A 2-vel oszthatósági kritériumból azt kapjuk, hogy a páros számok mind oszthatók vele, vagyis a a 2-es szám megjelenik az osztók listájában, így ezek a számok nem lesznek prímszámok, és ki kell zárnunk őket az osztók listájából. asztal. Vannak:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ 2. lépés: A 3-mal osztható kritériumból tudjuk, hogy egy szám osztható 3-mal, ha a összeg számjegyei közül az is. Így ezeket a számokat ki kell zárnunk a táblázatból, mivel nem prímszámok, mert 1-től és önmagától eltérő szám is szerepel az osztók listájában. Tehát ki kell zárnunk a számokat:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ 3. lépés: Az 5-tel oszthatóság kritériumából tudjuk, hogy minden 0-ra vagy 5-re végződő szám osztható 5-tel, ezért ezeket ki kell zárnunk a táblázatból.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ 4. lépés: Hasonlóképpen ki kell zárnunk a táblázatból azokat a számokat, amelyek 7 többszörösei.
14, 21, 28, …, 546, …
– Eratoszthenész szitájának ismeretében határozzuk meg a 2 és 100 közötti prímszámokat.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ nem unokatestvérek
→ prímszámok
Tehát a 2 és 100 közötti prímszámok:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Olvasd el te is: MMC és MDC számítás: hogyan kell csinálni?
Prímtényező dekompozíció
AZ prímtényezős dekompozíció formálisan ismert az aritmetika alaptétele. Ez a tétel kimondja, hogy bármely egész szám 0-tól eltérő és 1-nél nagyobb értéke prímszámok szorzatával ábrázolható. Egy egész szám faktorált alakjának meghatározásához egymást követő osztásokat kell végrehajtanunk, amíg el nem érjük az 1-gyel egyenlő eredményt. Lásd a példát:
→ Határozza meg a 8, 20 és 350 számok faktorált alakját!
A 8-as szám beszámításához el kell osztanunk az első lehetséges prímszámmal, jelen esetben 2-vel. Ezután egy újabb osztást hajtunk végre a lehetséges prímszámmal is, ezt a folyamatot addig ismételjük, amíg az osztás válaszaként el nem érjük az 1-et. Néz:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Ezért a 8-as szám faktorált alakja 2 · 2 · 2 = 23. A folyamat megkönnyítése érdekében a következő módszert alkalmazzuk:
Ezért a 8-as szám így írható fel: 23.
→ A 20-as szám faktorálásához ugyanazt a módszert fogjuk használni, azaz: elosztjuk prímszámokkal.
Tehát a 20-as szám faktorált formában: 2 · 2 · 5 vagy 22 · 5.
→ Hasonlóképpen járunk el a 350-es számmal is.
Ezért a 350-es szám faktorált formában: 2 · 5 · 5 · 7 vagy 2 · 52 · 7.
Lásd még: Tudományos jelölés: mire való?
megoldott gyakorlatokat
1. kérdés – Egyszerűsítse a kifejezést:
Megoldás
Először is vegyük figyelembe a kifejezést, hogy megkönnyítsük.
Így 1024 = 210, ezért a gyakorlati kifejezésben az egyiket helyettesíthetjük a másikkal. És így:
írta: Robson Luiz
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-primos.htm