Kepler harmadik törvényének levonása. Kepler harmadik törvénye.

Tudjuk, hogy a bolygók pályája ellipszis alakú, azonban a Kepler harmadik törvényének levonása, tekintsünk egy körpályát. Bár a következő demonstráció körpályákon alapul, az eredmények elliptikus pályákra is érvényesek.

Az ábrán egy bolygó kering a Nap körül. A centripetális erő (Fc) a Nap által kifejtett gravitációs vonzási erő. A bolygók és a műholdak között kifejtett vonzási erőket figyelmen kívül hagyják, ennek az az oka, hogy tömegük jóval kisebb, mint a Nap tömege.

Mint a tömegbolygó (m) kering a Nap körül, körkörös mozgással és szögsebességgel ( ), a bolygóra ható erő, az úgynevezett centripetális erő (Fc), a következőképpen adódik:

F_ç=mω² r

Minek:

F_ç:centripetális erő;
m: a bolygó tömege;
ω: a bolygó szögsebessége;
r: a bolygó pályájának sugara.

A szögsebességet a következő képlet adja meg:

Minek:

T: forradalom időszaka a bolygón.

Ha a 2. egyenletet behelyettesítjük az 1. egyenletbe, akkor a következőt kapjuk:

Vegye figyelembe, hogy a centripetális erő a Nap és a bolygó közötti vonzás gravitációs ereje. Tehát, ha a Nap tömegét (M) és a bolygó pályasugarát (r) tekintjük, ami a Nap és a bolygó távolsága, az egyetemes gravitáció törvénye a következőképpen írható fel:

Minek:

Ha a 3-as egyenletet 4-gyel egyenlővé tesszük, akkor a következőket kapjuk:

Hamar:

Tekintse meg az 5. egyenletet, és vegye figyelembe, hogy a kifejezés  állandó, mivel az ismeretlenek az egyetemes állandóra és a nap tömegére vonatkoznak, így az egyenlet a következőképpen írható át:

T²=kr³

Minek:

k: arányossági állandó.

A 6. egyenletből kiderül, hogy a bolygó Nap körüli forgási periódusának négyzete egyenesen arányos a köztük lévő távolság kockájával.

A fenti egyenletből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy minél távolabb van a bolygó a Naptól, annál hosszabb a forgási periódusa.

Kepler harmadik törvénye, amelyet most következtettünk le, a Földre vonatkozóan is érvényes a Hold és a mesterséges műholdak mozgására.

Írta: Nathan Augusto
Fizika szakon végzett

Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/fisica/deducao-terceira-lei-kepler.htm