Minden négyzetmátrix hozzárendelhető egy számhoz, amelyet a mátrix elemei között végzett számításokból kapunk. Ezt a számot a döntő.
A négyzetmátrix sorrendje határozza meg a determináns kiszámításának legjobb módszerét. A 2. rendű mátrixok esetében például elég megtalálni a különbséget a főátló elemeinek szorzata és a másodlagos átló elemeinek szorzata között. A 3x3-as mátrixoknál alkalmazhatjuk a Sarrus-szabályt vagy akár a Laplace-tétel. Érdemes megjegyezni, hogy ez utóbbi 3-nál nagyobb rendű négyzetmátrixok determinánsainak kiszámítására is használható. Konkrét esetekben a determináns kiszámítása néhányval egyszerűsíthető meghatározó tulajdonságok.
Annak megértéséhez, hogyan számítják ki a determinánst a Sarrus-szabállyal, vegyük figyelembe a következő, 3. rendű A mátrixot:
3. sorrendű mátrix ábrázolása
Kezdetben az első két oszlop ismétlődik az A mátrixtól jobbra:
Meg kell ismételnünk az első két oszlopot a mátrix jobb oldalán
Ezután a főátló elemeit megszorozzuk. Ezt a folyamatot a főátlótól jobbra lévő átlókkal is el kell végezni, hogy lehetséges legyen
add hozzá ennek a három átlónak a szorzata:det Aszámára = Az11.Az22.Az33 + a12.Az23.Az31 + a13.Az21.Az32
Össze kell adnunk a főátlók szorzatait
Ugyanezt a folyamatot kell végrehajtani a másodlagos átlóval és a többi átlóval attól jobbra. Azonban szükséges kivonni a talált termékek:
det As = - a13.Az22.Az31 - a11.Az23.Az33 - a12.Az21.Az33
A másodlagos átlókból ki kell vonnunk a szorzatokat
A két folyamatot összekapcsolva meg lehet találni az A mátrix determinánsát:
det A = det Aszámára + det As
det A = Az11.Az22.Az33 + a12.Az23.Az31 + a13.Az21.Az32- a13.Az22.Az31 - a11.Az23.Az33 - a12.Az21.Az33
A Sarrus-szabály alkalmazásának bemutatása
Most nézze meg a következő 3x3-as B mátrix determinánsának kiszámítását:
A B mátrix determinánsának kiszámítása Sarrus-szabály segítségével
Sarrus szabályát használva a B mátrix determinánsának kiszámítása a következőképpen történik:
Sarrus szabályának alkalmazása a B mátrix meghatározójának megtalálásához
det B = B11.B22.B33 + b12.B23.B31 + b13.B21.B32- B13.B22.B31 - B11.B23.B33 - B12.B21.B33
det B = 1.3.2 + 5.0.4 + (–2).8.(–1) – (–2).3.4 – 1.0.(–1) – 5.8.2
det B = 6 + 0 + 16 – (–24) – 0 – 80
det B = 22– 56
det B = – 34
Ezért Sarrus szabálya szerint a B mátrix determinánsa az – 34.
Írta: Amanda Gonçalves
Matematika szakon végzett
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-sarrus.htm
