Exponenciális funkció: 5 kommentált gyakorlat

A exponenciális függvény minden of függvénye a ℝ -ben^*_+, f (x) = a által meghatározott^x, ahol a valós szám, nagyobb, mint nulla, és nem egyenlő 1-vel.

Használja ki a kommentált gyakorlatokat, hogy tisztázza minden kétségét a tartalommal kapcsolatban, és feltétlenül ellenőrizze tudását a versenyek megoldott kérdéseiben.

Megjegyzett gyakorlatok

1. Feladat

A biológusok egy csoportja egy adott baktériumtelep kialakulását és megállapította, hogy ideális körülmények között a baktériumok száma megtalálható az N (t) kifejezésen keresztül = 2000. 2^{0,5 t}, órákban t.

Ezeket a körülményeket figyelembe véve, a megfigyelés megkezdése után meddig lesz a baktériumok száma 8192000?

Megoldás

A javasolt helyzetben ismerjük a baktériumok számát, vagyis tudjuk, hogy N (t) = 8192000, és meg akarjuk találni a t értékét. Tehát csak cserélje le ezt az értéket az adott kifejezésben:

Ennek az egyenletnek a megoldásához írjuk a 4096 számot prímtényezőkbe, mert ha azonos az alapunk, akkor meg tudjuk egyenlíteni a kitevőket. Ezért a számot figyelembe véve:

Így a tenyészetben 8 192 000 baktérium lesz 1 nap (24 óra) múlva a megfigyelés kezdetétől.

2. gyakorlat

A radioaktív anyagok idővel természetes módon hajlamosak felbomlani radioaktív tömegüket. A radioaktív tömeg felének széteséséhez szükséges időt felezési idejének nevezzük.

Egy adott elem radioaktív anyagának mennyiségét az alábbiak adják meg:

Lény,

N (t): a radioaktív anyag mennyisége (grammban) egy adott idő alatt.
N₀: az anyag kezdeti mennyisége (grammban)
T: felezési idő (években)
t: idő (években)

Figyelembe véve, hogy ennek az elemnek a felezési ideje 28 év, akkor határozza meg azt az időt, amelyre a radioaktív anyagnak a kezdeti mennyiség 25% -ára kell csökkentenie.

Megoldás

A javasolt helyzetre A (t) = 0,25 A₀ = 1/4 A₀, így megírhatjuk az adott kifejezést, helyettesítve a T-t 28 évvel, majd:

Ezért 56 évbe telik, mire a radioaktív anyag mennyisége 25% -kal csökken.

Verseny kérdések

1) Unesp - 2018

Az ibuprofen felírt gyógyszer fájdalom és láz ellen, felezési ideje körülbelül 2 óra. Ez azt jelenti, hogy például 200 mg ibuprofen 2 órás elfogyasztása után csak 100 mg gyógyszer marad a beteg véráramában. További 2 óra (összesen 4 óra) elteltével csak 50 mg marad a véráramban, és így tovább. Ha egy beteg 6 óránként 800 mg ibuprofent kap, akkor ennek a gyógyszernek a mennyisége, amely az első adag bevétele után a 14. órában a véráramban marad,

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

Lásd: Válasz

Mivel a véráramban a kezdeti gyógyszer mennyisége 2 óránként felére oszlik, ezt a helyzetet a következő séma segítségével ábrázolhatjuk:

Vegye figyelembe, hogy az exponens minden helyzetben megegyezik az idő elosztva 2-vel. Így meghatározhatjuk a véráramban lévő gyógyszer mennyiségét az idő függvényében, a következő kifejezés segítségével:

Lény

Q (t): a mennyiség egy adott órában
Q₀: a bevitt kezdeti mennyiség
t: idő órákban

Figyelembe véve, hogy 6 óránként 800 mg ibuprofent vettek be, akkor:

Az első dózis bevétele után 14 órával a véráramban lévő gyógyszerek mennyiségének megállapításához hozzá kell adnunk az 1., 2. és 3. dózisra utaló mennyiségeket. Ezen mennyiségek kiszámításakor:

Az első dózis mennyiségét a 14 órával egyenlő időre számítva találjuk meg, tehát:

A második dózis esetében, amint azt a fenti ábra mutatja, az idő 8 óra volt. Ezt az értéket lecserélve:

A 3. adag ideje csak 2 óra lesz. A 3. adaghoz kapcsolódó mennyiség ekkor lesz:

Most, hogy tudjuk az egyes bevitt adagok mennyiségét, a teljes mennyiséget megtalálja a talált mennyiségek mindegyikének hozzáadásával:

Q_teljes= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

B) alternatíva: 456,25 mg

2) UERJ - 2013

A város ellátására használt tavat ipari baleset után szennyezték, elérve a T toxicitási szintet₀, ami a kezdeti szint tízszeresének felel meg.
Olvassa el az alábbi információkat.

• A tó természetes folyása lehetővé teszi térfogatának 50% -ának megújítását tíznaponta.
• A T (x) toxicitási szint a baleset x napja után kiszámítható a következő egyenlettel:

Tekintsük D-nek a vízellátás szüneteltetésének legkisebb napszámát, amely szükséges ahhoz, hogy a toxicitás visszatérjen a kezdeti szintre.
Ha log 2 = 0,3, akkor D értéke egyenlő:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Lásd: Válasz

A kezdeti toxicitási szintre való visszatéréshez szükséges, hogy:

Ezt az értéket behelyettesítve az adott függvénybe:

A "kereszttel" szorozva az egyenlet:

2 ^0,1x= 10

Alkalmazzuk az alap 10 logaritmust mindkét oldalra, hogy 1. fokú egyenlet legyen belőle:

napló (2^0,1x) = log 10

Emlékeztetve arra, hogy a 10 bázis 10 log logikája egyenlő 1-vel, egyenletünk így fog kinézni:

0,1x. log 2 = 1

Figyelembe véve, hogy log 2 = 0,3, és ezt az értéket behelyettesítve az egyenletbe:

Így az ellátás megszakításának körülbelül a legrövidebb ideje 34 nap.

C) alternatíva 34

3) Fuvesp - 2018

Legyen f: ℝ → ℝ és g: ℝ₊ → ℝ által meghatározott

illetőleg.

A kompozit függvény grafikonja g_ºhit:

Lásd: Válasz

A keresett grafikon a g összetett függvény_ºf, ezért az első lépés ennek a függvénynek a meghatározása. Ehhez ki kell cserélnünk az f (x) függvényt a g (x) függvény x-be. A pótlással a következőket találjuk:

A hányados és egy hatvány logaritmus tulajdonságát felhasználva:

Ne feledje, hogy a fenti függvény ax + b típusú, ami affin függvény. Tehát a grafikonja egyenes lesz.

Az a lejtő egyenlő a log-nal₁₀ 5, ami pozitív szám, tehát a grafikon növekszik. Ily módon kiküszöbölhetjük a b, c és e opciókat.

Megmaradnak az a és d opciók, azonban ha x = 0, akkor megvan a gof = - log₁₀ 2, amely negatív érték, amelyet az a gráf ábrázol.

A) alternatíva

4) Unicamp - 2014

Az alábbi grafikon a q (t) biotikus potenciál görbét mutatja a mikroorganizmusok populációjának t idő alatt.

Mivel a és b valós konstansok, az a funkció, amely ezt a potenciált képviseli

a) q (t) = + b-nél
b) q (t) = ab^t
c) q (t) = at² + bt
d) q (t) = a + log _B t

Lásd: Válasz

A bemutatott grafikon alapján azonosíthatjuk, hogy amikor t = 0, a függvény egyenlő 1000-vel. Továbbá az is megfigyelhető, hogy a függvény nem affin, mivel a grafikon nem egyenes.

Ha a függvény q (t) = at típusú lenne²+ bt, ha t = 0, az eredmény nulla és nem 1000 lesz. Tehát ez sem másodfokú függvény.

Hogyan kell naplózni_BA 0 nincs definiálva, és válasza sem lehet a q (t) = a + log függvényre_Bt.

Így az egyetlen lehetőség a q (t) = ab függvény lenne^t. Figyelembe véve a t = 0 értéket, a függvény q (t) = a lesz, mivel az a konstans érték, elegendő, ha egyenlő 1000-vel, hogy a függvény illeszkedjen az adott gráfhoz.

B) q (t) = ab alternatíva^t

5) Ellenség (PPL) - 2015

Egy vállalat munkavállalói szakszervezete javasolja, hogy az osztály fizetési szintje 1800,00 R $ legyen, ami a munkának szentelt minden évre vonatkozóan rögzített százalékos emelést javasol. A fizetési javaslat (ok) nak megfelelő kifejezés a szolgálati idő (t) függvényében, években, s (t) = 1800. (1,03)^t .

A szakszervezet javaslata szerint ennek a cégnek a 2 év szolgálati idővel rendelkező szakemberének fizetése valójában

a) 7 416,00
b) 3 819,24
c) 3 709,62
d) 3 708,00
e) 1,909,62.

Lásd: Válasz

Az unió által javasolt bérszámítás az idő függvényében kifejezése exponenciális függvénynek felel meg.

A fizetési érték megtalálásához számítsuk ki s értékét, amikor t = 2, az alábbiak szerint:

s (2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

E) alternatíva: 1 909,62

Olvasd el te is:

• Exponenciális függvény
• Logaritmus
• Logaritmus - gyakorlatok
• Logaritmus tulajdonságai
• Potenciálás
• potenciós gyakorlatok
• Affine funkció
• Lineáris függvény
• Kapcsolódó funkciógyakorlatok
• Másodfokú függvény
• Másodfokú funkció - gyakorlatok
• Matematikai képletek