Fordított mátrixszámítás: tulajdonságok és példák

Az inverz vagy invertálható mátrix egy típusa négyzetmátrix, vagyis ugyanannyi sora (m) és oszlopa (n) van.

Akkor fordul elő, amikor két mátrix szorzata a azonos sorrendű identitásmátrix (ugyanannyi sor és oszlop).

Így a mátrix inverzének megtalálásához szorzást használunk.

A. B = B. A = I_nem (amikor a B mátrix inverz az A mátrixra)

De mi az identitásmátrix?

A Identitás mátrix akkor definiáljuk, amikor a főátló elemei mind egyenlőek 1-vel, a többi elemek pedig 0-val (nulla). I jelzi_nem:

Inverz mátrix tulajdonságok

Mindegyik mátrixhoz csak egy inverz van.
Nem minden mátrixnak van inverz mátrixa. Csak akkor megfordítható, ha a négyzetmátrixok szorzata identitásmátrixot eredményez (I_nem)
Az inverz inverz mátrixa megfelel magának a mátrixnak: A = (A^-1)^-1
Az inverz mátrix transzponált mátrixa is inverz: (A^t) ^-1 = (A^-1)^t
A transzponált mátrix inverz mátrixa megfelel az inverz transzpozíciójának: (A^-1 A^{t) -1}
Az identitásmátrix inverz mátrixa megegyezik az identitásmátrixával: I^-1 = I

Lásd még: Mátrixok

Fordított mátrix példák

instagram story viewer

2x2 inverz mátrix

3x3 inverz mátrix

Lépésről lépésre: Hogyan lehet kiszámítani az inverz mátrixot?

Tudjuk, hogy ha két mátrix szorzata megegyezik az azonossági mátrixszal, akkor ennek a mátrixnak inverze van.

Vegye figyelembe, hogy ha az A mátrix a B mátrix inverze, akkor a jelölést használjuk: A^-1.

Példa: Keresse meg a mátrix inverzét 3x3 sorrend alatt.

Először is emlékeznünk kell arra, hogy A. A^-1= I (A mátrix az inverzével megszorozva az I azonossági mátrixot eredményezi_nem).

Az első mátrix első sorának minden elemét megszorozzuk a második mátrix minden oszlopával.

Ezért az első mátrix második sorának elemeit megszorozzuk a második oszlopával.

És végül az első harmadik sora a második oszlopával:

Az elemek és az identitásmátrix összeillesztésével felfedezhetjük a következők értékeit:

a = 1
b = 0
c = 0

Ezen értékek ismeretében kiszámíthatjuk a mátrix többi ismeretlent. Az első mátrix harmadik sorában és első oszlopában + 2d = 0. Kezdjük tehát azzal, hogy megtaláljuk a d, a talált értékek kicserélésével:

1 + 2d = 0
2d = -1
d = -1/2

Hasonlóképpen, a harmadik sorban és a második oszlopban megtalálhatjuk a és:

b + 2e = 0
0 + 2e = 0
2e = 0
e = 0/2
e = 0

Folytatva, a harmadik oszlop harmadik sorában szerepel: c + 2f. Megjegyezzük, hogy ennek az egyenletnek a második azonossági mátrixa nem nulla, hanem 1.

c + 2f = 1
0 + 2f = 1
2f = 1
f = ½

A második sorra és az első oszlopra lépve megtaláljuk a értékét g:

a + 3d + g = 0
1 + 3. (-1/2) + g = 0
1 - 3/2 + g = 0
g = -1 + 3/2
g = ½

A második sorban és a második oszlopban megtalálhatjuk a H:

b + 3e + h = 1
0 + 3. 0 + h = 1
h = 1

Végül keressük meg a én a második sor és a harmadik oszlop egyenletével:

c + 3f + i = 0
0 + 3 (1/2) + i = 0
3/2 + i = 0
i = 3/2

Az összes ismeretlen érték felfedezése után megtalálhatjuk az A inverz mátrixát alkotó összes elemet: