Összetett számgyakorlatok: Megoldott kérdések és visszajelzések listája

Ön komplex számok lehetővé teszik olyan matematikai feladatok megoldását, amelyeknek nincsenek megoldásai a halmazban valós számok.

Összetett számban írva $\ dpi {120} z = a + bi$ , ezt mondjuk $\ dpi {120} -$ az igazi része, $\ dpi {120} b$ a képzeletbeli rész és $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ ez a képzeletbeli egység.

Előadni műveletek összetett számokkal, vannak olyan kifejezések, amelyek megkönnyítik a számításokat. Fontolgat $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ és $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

Összeadási kifejezés a komplex számok között:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

Kivonás kifejezése a komplex számok között:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

A komplex számok közötti szorzás kifejezése:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (ad + cb) i$

A komplex számok közötti felosztás kifejezése:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - ad)} {c ^ 2 + d ^ 2 }én$

Az alábbiakban felsoroljuk a komplex számokra vonatkozó gyakorlatokkal megoldott kérdések. Tanuld meg használni ezeket a számokat tartalmazó fogalmak mindegyikét!

Index

Gyakorlatok felsorolása komplex számokra
Az 1. kérdés megoldása
A 2. kérdés megoldása
A 3. kérdés megoldása
A 4. kérdés megoldása
Az 5. kérdés megoldása
A 6. kérdés megoldása
A 7. kérdés megoldása
A 8. kérdés megoldása

Gyakorlatok felsorolása komplex számokra

1. kérdés. A komplex számokat figyelembe véve $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ és $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ értékének meghatározása $\ dpi {120} A$ , Mikor $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

instagram story viewer

2. kérdés. Keresse meg a $\ dpi {120} x$ és $\ dpi {120} y$ oly módon, hogy $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

3. kérdés A komplex számokat figyelembe véve $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ és $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , határozza meg az értékét $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Mikor $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ és $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

4. kérdés Számítsa ki a $\ dpi {120} p$ és $\ dpi {120} q$ miért $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Mikor $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ és $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

5. kérdés Határozza meg a $\ dpi {120} -$ miért $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ tiszta képzelt szám legyen.

6. kérdés Számítsa ki a következő képzeletbeli egységhatalmat $\ dpi {120} i$ :

A) $\ dpi {120} i ^ {16}$
B) $\ dpi {120} i ^ {200}$
ç) $\ dpi {120} i ^ {829}$
d) $\ dpi {120} i ^ {11475}$

7. kérdés Keresse meg az egyenlet megoldását! $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ a komplex számok halmazában.

8. kérdés Határozza meg az egyenlet megoldását! $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ a komplex számok halmazában.

Az 1. kérdés megoldása

Nekünk van $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ és $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ és $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ és meg akarjuk határozni a $\ dpi {120} A$ , Mikor $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Először számoljunk $\ dpi {120} 4z_3$ és $\ dpi {120} 3z_1$ , külön:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

Most számoljunk $\ dpi {120} A$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ Jobboldali A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ Jobboldali A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ Jobboldali A = -8 + 2i$

A 2. kérdés megoldása

Meg akarjuk találni x és y-t úgy, hogy $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Két komplex szám közötti összeg kifejezésével:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

Tehát muszáj $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ és $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . Oldjuk meg ezt a két egyenletet az x és y keresésére.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ Rightarrow y = 3-2 \ Rightarrow y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ Rightarrow x- 5 = -1 \ Rightarrow x = -1 + 5 \ Rightarrow x = 4$

A 3. kérdés megoldása

Nekünk van $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ és $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ és meg akarjuk határozni a $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Mikor $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ és $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Először kiszámoljuk $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$

$\ dpi {120} \ Jobboldali A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

Két komplex szám szorzatának kifejezésével meg kell tennünk:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ Jobboldali A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ Jobboldali A = 29$

Most számoljunk $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$

$\ dpi {120} \ Jobboldali B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 \ cdot 1 - 3 \ cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ Jobboldali B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ Jobboldali B = 10$

Ebből kifolyólag, $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

A 4. kérdés megoldása

Ki akarjuk számolni a $\ dpi {120} p$ és $\ dpi {120} q$ miért $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Mikor $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ és $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Megtalálást jelent $\ dpi {120} p$ és $\ dpi {120} q$ hogy:

Nézzen meg néhány ingyenes tanfolyamot

Ingyenes online inkluzív oktatási tanfolyam
Ingyenes online játékkönyvtár és tanfolyam
Ingyenes online matematikai játékok tanfolyama a kisgyermekkori oktatásban
Ingyenes online pedagógiai kulturális műhelytanfolyam

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

Két összetett szám közötti felosztás kifejezésével meg kell tennünk:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

A két feltételhez csatlakozva:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

Azaz:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

Oldjuk meg ezeket az egyenleteket, kezdve a másodikkal, amely csak p-től függ.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Rightarrow -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ Rightarrow p = -16$

Most q-t találunk a másik egyenlet alapján:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow q = 7$

Az 5. kérdés megoldása

Meg akarjuk találni a $\ dpi {120} -$ miért $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ tiszta képzelt szám legyen.

A tiszta képzeletbeli szám az, amelynek valós része nulla.

Figyelembe véve a két komplex szám közötti felosztás kifejezését, megállapíthatjuk, hogy:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

Ahhoz, hogy ez a szám tiszta képzeletbeli legyen, rendelkeznünk kell:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow a = -2$

A 6. kérdés megoldása

A hatványok és a komplex számok meghatározásával:

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$

Figyeljen meg egy mintát, amely megismétli mind a négy egymást követő hatalmat: 1, i, -1 és -i.

Tehát az i bármely tetszőleges hatványának megtalálásához egyszerűen osszuk el a kitevőt 4-gyel. Az osztás fennmaradó része 0, 1, 2 vagy 3 lesz, és ez az érték lesz az a kitevő, amelyet használnunk kell.

A) $\ dpi {120} i ^ {16}$

16: 4 = 4, a többi 0.

Azután, $\ dpi {120} i ^ {16} = i ^ 0 = 1$ .