A félív trigonometrikus függvényei

Nál nél trigonometrikus függvények, a szinusz, a koszinusz és az érintő az ív felét a kettős ív trigonometrikus függvényeiből nyerhetjük.

Adott egy mérési ív $\ dpi {120} \ alfa$ , a kettős íj az íj $\ dpi {120} 2 \ alfa$ a fél íj pedig az íj $\ dpi {120} \ alpha / 2$ .

Által két ív összeadási képlet, megvan a kettős ív trigonometrikus függvénye:

Szinusz:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = bűn \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + bűn \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ félkövér szimbólum {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}$

koszinusz:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - bűn \, {\ alpha} \ cdot sin \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}$

Tangens:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - tan \, {\ alpha} \ cdot tan \, {\ alpha}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, boldsymbol {\ alpha }}}$

Ezekből a képletekből megmutatjuk a fél ív trigonometrikus függvények.

A félív trigonometrikus függvényei

Az egyik a trigonometria alapvető kapcsolatai az, hogy a:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}$

Honnan veszünk:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

pótolva $\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ a kettős ív koszinuszának képletében meg kell tennünk:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}$

Nézzen meg néhány ingyenes tanfolyamot

Ingyenes online inkluzív oktatási tanfolyam
Ingyenes online játékkönyvtár és tanfolyam
Ingyenes online matematikai játékok tanfolyama a kisgyermekkori oktatásban
Ingyenes online pedagógiai kulturális műhelytanfolyam

$\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

Ebből kifolyólag: $\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}$

pótolva $\ dpi {120} \ alfa$ per $\ dpi {120} \ alpha / 2$ a fenti képletben és kivonva a négyzetgyököt mindkét oldalon, megvan a képlet az ív felének koszinusa:

$\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Megjegyzés: A képletben szereplő jel pozitív vagy negatív lesz az ív felének kvadránsának megfelelően.

instagram story viewer

Most cserél $\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ a kettős ív koszinuszának képletében meg kell tennünk:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

Ebből kifolyólag:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}$

pótolva $\ dpi {120} \ alfa$ per $\ dpi {120} \ alpha / 2$ a fenti képletben és kivonva a négyzetgyököt mindkét oldalon, megvan a képlet szinusz ív fele:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Megjegyzés: A képletben szereplő jel pozitív vagy negatív lesz az ív felének kvadránsának megfelelően.

Végül megkaphatjuk az ívfelület érintőjét, elosztva az ívfele szinuszát az ívfelület koszinuszával:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \ alpha}}}$

Ezért a félíves érintő é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alfa}}}}$

Megjegyzés: A képletben szereplő jel pozitív vagy negatív lesz az ív felének kvadránsának megfelelően.

Ön is érdekelheti:

trigonometrikus kör
trigonometrikus táblázat
Trigonometrikus arányok
bűnök törvénye
koszinustörvény

A jelszót elküldtük az Ön e-mailjére.

A félív trigonometrikus függvényei

A félív trigonometrikus függvényei

Egy konvex sokszög belső és külső szögeinek összege

Minden az atlétikáról: történelem, módok, események és szabályok

Születésnapi üzenet írása