A másodfokú függvény grafikonjának lépésről lépésre történő elkészítése

Az általános iskolában funkciókat olyan matematikai képletek, amelyek egy numerikus halmaz (tartomány) minden számát egy másik halmazhoz tartozó egyetlen számhoz (az ellendoménhez) társítják. Amikor ez a képlet a másodfokú egyenlet, van egy középiskolai funkció.

A függvényeket olyan geometriai ábrákkal ábrázolhatjuk, amelyek definíciói egybeesnek matematikai képleteikkel. Ez az egyenes, amely az első fokú funkciókat képviseli, és a példázat, amely a második fokozat funkcióit képviseli. Ezeket a geometriai ábrákat hívjuk grafika.

A függvény grafikon általi ábrázolásának központi gondolata

Mert ábrázoljon egy függvényt, ki kell értékelni, hogy az ellendomain mely eleme kapcsolódik a tartomány egyes elemeihez, és azokat egyenként, egy derékszögű síkban jelölje meg. Ha mindezen pontokat megszerzi, az eredmény csak egy függvény grafikonja lesz.

Figyelemre méltó, hogy a középiskolai funkciók, általában egy tartományban definiálják, amely megegyezik a valós számok teljes halmazával. Ez a halmaz végtelen, ezért lehetetlen minden pontját kijelölni egy derékszögű síkon. Így az alternatíva egy olyan grafikon vázlata, amely részben képviseli az értékelt függvényt.

Először is, ne feledje, hogy a másodfokú függvények a következő formát ölthetik:

y = ax² + bx + c

Ezért bemutatjuk öt lépés, amely lehetővé teszi a másodfokú függvény grafikon felépítését, pontosan olyanok, mint a középiskolában.

1. lépés - Átfogó munkaköri értékelés

Vannak olyan mutatók, amelyek segítenek megtudni, hogy a megfelelő út halad-e a középiskolai függvény grafikon.

I - Az a "együttható" középiskolai funkció homorúságát jelzi, vagyis ha a> 0, akkor a parabola felfelé kerül és minimális ponttal rendelkezik. Ha egy <0, akkor a parabola lent lesz és maximális ponttal rendelkezik.

II. A program első A pontja egy példázat grafikonja egyszerűen megszerezhető, ha megnézzük a „c” együttható értékét. Így A = (0, c). Ez akkor történik, ha x = 0. Néz:

y = ax² + bx + c

y = a · 0² + b · 0 + c

y = c

2. lépés - Keresse meg a csúcs koordinátáit

csúcsa a példázat a maximális (ha <0) vagy a minimum (ha a> 0) pont. Megtalálható az „a”, „b” és „c” együtthatók értékének a képletekben történő behelyettesítésével:

x_v = - B
2.

y_v = –∆
4

Így az V csúcsot az x számértékei adják meg_v és y_v és így írható: V = (x_vyy_v).

3. lépés - Véletlenszerű pontok a grafikonon

Mindig jó megadni néhány véletlenszerű pontot, amelyeknek az x változóhoz rendelt értéke nagyobb és kisebb, mint x_v. Ez pontokat ad a csúcs előtt és után, és megkönnyíti a grafikon rajzolását.

4. lépés - Ha lehetséges, határozza meg a gyökereket

Ha léteznek, akkor a gyökereket be lehet (és kell) illeszteni a a második fokozat függvényének grafikonja. Megtalálásukhoz állítsuk be az y = 0 értéket egy másodfokú egyenlethez, amelyet Bhaskara képlete megoldhat. Emlékezz arra megoldani a másodfokú egyenlet megegyezik a gyökerek megtalálásával.

Ne álljon meg most... A reklám után még több van;)

A Bhaskara formula a diszkrimináns képletétől függ. Vannak:

x = - b ± √∆
2.

∆ = b² - 4ac

5. lépés - Jelölje meg az összes elért pontot a derékszögű síkon, és kapcsolja össze őket egy parabola felépítése érdekében

Ne feledje, hogy a derékszögű sík két merőleges számegyenesből áll. Ez azt jelenti, hogy amellett, hogy tartalmazzák az összes valós számot, ezek a vonalak 90 ° -os szöget alkotnak.

Példa a derékszögű tervre és a példázat példája.

Példa

Ábrázolja az y = 2x másodfokú függvényt² - 6x.

Megoldás: Vegye figyelembe, hogy ennek a parabolának az együtthatói a = 2, b = - 6 és c = 0. Ily módon a 1. lépés, azt mondhatjuk, hogy:

1 - A parabola fent lesz, mivel 2 = a> 0.

2 - Ennek a példázatnak az A betűvel ellátott egyik pontját a c együttható adja. Hamar, A = (0,0).

a 2. lépéssel, megfigyelhetjük, hogy ennek a parabolának a csúcsa:

x_v = - B
2.

x_v = – (– 6)
2·2

x_v = 6
4

x_v = 1,5

y_v = – ∆
4

y_v = – (B² - 4 · a · c)
4

y_v = – ((– 6)² – 4·2·0)
4·2

y_v = – (36)
8

y_v = – 36
8

y_v = – 4,5

Ezért a csúcs koordinátái: V = (1,5, - 4,5)

Használni a 3. lépés, csak két értéket választunk az x változóhoz, egyet nagyobbat és egyet kevesebbet, mint x_v.

Ha x = 1,

y = 2x² - 6x

y = 2,1² – 6·1

y = 2,1-6

y = 2 - 6

y = - 4

Ha x = 2,

y = 2x² - 6x

y = 2,2² – 6·2

y = 2,4 - 12

y = 8-12

y = - 4

Ezért a kapott két pont az B = (1, - 4) és C = (2, - 4)

Szőrme 4. lépés, amelyet nem kell megtenni, ha a függvénynek nincs gyökere, a következő eredményeket kapjuk:

∆ = b² - 4ac

∆ = (– 6)² – 4·2·0

∆ = (– 6)²

∆ = 36

x = - b ± √∆
2.

x = – (– 6) ± √36
2·2

x = 6 ± 6
4

x '= 12
4

x '= 3

x '' = 6 – 6
4

x '' = 0

Ezért a gyökereken keresztül kapott pontok, figyelembe véve, hogy x = 0 és x = 3 megszerzéséhez y = 0-t kellett beállítani, a következők: A = (0, 0) és D = (3, 0).

Ezzel hat pontot kapunk az y = 2x függvény grafikonjának megrajzolásához² - 6x. Most csak teljesítse a 5. lépés hogy határozottan megépítsem.

Luiz Paulo Moreira
Matematikából végzett