A koszinustörvény van trigonometrikus összefüggés az oldalak és a szögek az egyiken háromszög bármelyik, vagyis az a háromszög, amelynek nincs feltétlenül derékszöge. Vegye figyelembe a következő ABC háromszöget a kiemelt mérőszámokkal:
A törvényTól tőlkoszinuszok az alábbiak egyikével adható meg kifejezések:
A2 = b2 + c2 - 2 · b · c · cosα
B2 = a2 + c2 - 2 · a · c · cosβ
ç2 = b2 + a2 - 2 · b · a · cosθ
Megfigyelés: Nem szükséges megjegyezni ezt a három képletet. Csak tudd, hogy a törvényTól tőlkoszinuszok mindig fel lehet építeni. Megjegyezzük, hogy az első kifejezésben α az a szög, amely szemben áll azzal az oldallal, amelynek mértékét megadja A. A képletet úgy kezdjük, hogy a szög másik oldalán lévő négyzet legyen a számításokban. Ez egyenlő lesz a másik két oldal négyzetének összegével, levonva annak a két oldalnak a szorzatát, amely nem áll ellentétben ezzel a szöggel. koszinusz az α.
Ily módon a fenti három képlet a következőkre redukálható:
A2 = b2 + c2 - 2 · b · c · cosα
Amíg tudjuk, hogyA" az "α" szemközti oldalán lévő mérés, és hogy "b" és "c" a másik két oldal mérése háromszög.
Demonstráció
Tekintettel a háromszög Bármely ABC, az alábbi ábrán kiemelt intézkedésekkel:
Vegyük figyelembe az ABD és BCD háromszögeket, amelyeket az ABC háromszög BD magassága alkot. Használni a Pitagorasz tétel az ABD-ben:
ç2 = x2 + h2
H2 = c2 - x2
Ugyanazon tétel használata a háromszög BCD, mi lesz:
Ne álljon meg most... A reklám után még több van;)
A2 = y2 + h2
H2 = a2 - y2
Tudva, hogy van2 = c2 - x2, nekünk lesz:
ç2 - x2 = a2 - y2
ç2 - x2 + y2 = a2
A2 = c2 - x2 + y2
Megjegyzés a képen háromszög ahol b = x + y, ahol y = b - x. Ha ezt az értéket kicseréljük a korábban kapott eredményre, akkor:
A2 = c2 - x2 + y2
A2 = c2 - x2 + (b - x)2
A2 = c2 - x2 + b2 - 2bx + x2
A2 = c2 + b2 - 2bx
Még mindig az ábrát nézve vegye észre, hogy:
cosα = x
ç
c · cosα = x
x = c · cosα
Ezt az eredményt behelyettesítve az előző kifejezésbe:
A2 = c2 + b2 - 2bx
A2 = c2 + b2 - 2b · c · cosα
Ez pontosan az első a fent bemutatott három kifejezés közül. A másik kettő analóg módon állítható elő.
Példa - A háromszög majd kiszámítja az x mértékét.
Megoldás:
Használni a törvényTól tőlkoszinuszok, vegye figyelembe, hogy x a 60 ° szöggel szemközti oldal mérése. Ezért az első "szám" jelenik meg a megoldásban:
x2 = 102 + 102 - 2 · 10 · 10 · cos60 °
x2 = 100 + 100 - 2 · 100 · cos60 °
x2 = 200-200 | cos60 °
x2 = 200 – 200·1
2
x2 = 200 – 100
x2 = 100
x = ± √100
x = ± 10
Mivel nincs negatív hosszúság, az eredmény csak a pozitív érték legyen, azaz x = 10 cm.
írta Luiz Moreira
Matematikából végzett
Hivatkozni szeretne erre a szövegre egy iskolai vagy tudományos munkában? Néz:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Mi a koszinusi törvény?"; Brazil iskola. Elérhető: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm. Hozzáférés: 2021. június 27.
