A néven ismert racionális szám minden olyan szám redukálhatatlan frakcióként ábrázolható. Az emberi történelem során a szám gondolata fokozatosan fejlődött az emberi igényeknek megfelelően. A számok törtekben való ábrázolása például olyan problémákat oldott meg, amelyeket csak az oldott meg egész számok.
A racionális szám egy törtrészből ábrázolható, ezért vannak módszerek egész számok transzformálására, tizedes számok pontos és periodikus tizedesjegyek törtrészekben.
Olvassa el: Törtekkel végzett műveletek - hogyan lehet megoldani?
Mik a racionális számok?
A racionális számok az egész számok halmazának bővítése, majd az egész számok mellett hozzáadták minden frakció. O készlet a racionális számok
Amit ez az ábrázolás mond, az az, hogy egy szám racionális, ha törtként ábrázolható A ról ről B, oly módon, hogy A egész szám és B egy nem nulla egész szám. De ha kevésbé szigorúan akarjuk meghatározni a racionális számokat, akkor a következőket mondhatjuk:
A racionális számok olyan számok, amelyek töredékként ábrázolhatók. |
Teljesítse ezt a meghatározást:
Ön egész számoks, például: -10, 7, 0;
Ön pontos tizedesjegyekpéldául: 1,25; 0,1; 3,1415;
nál nél egyszerű időszakos tizedpéldául: 1,424242…;
nál nél összetett periodikus tizedpéldául: 1.0288888…
Nem racionális számok:
Nál nél nem időszakos tizedpéldául: 4,1239489201…;
Nál nél gyökereinem pontos, például:
;- A békaénz négyzet negatív számok, például:
.
Megfigyelés: A nem racionális számok megléte más halmazok megjelenését okozza, például irracionális számokat és komplex számok.
Ne álljon meg most... A reklám után még több van;)
A racionális számok ábrázolása
Annak megértése, hogy a tört a osztály két egész számból, hogy racionális szám legyen, ezt a számot töredékként ábrázolhatja. Ezért a fentiekben racionális számként említett esetek (egész számok, pontos tizedesjegyek és periodikus tizedesek) töredékként ábrázolhatók.
egész számok
Végtelen lehetőségek vannak arra, hogy egy egész számot frakcióként ábrázoljunk, mivel a törtrész szerkeszthetetlen formában is megjeleníthető.
Példák:
pontos tizedesjegyek
Pontos tizedes számot a-vá alakítani töredék, megszámoljuk a számok számát a tizedes részében, vagyis a tizedespont után. Ha a vessző után van egy szám, akkor az egész számot és a tizedes részt a 10 feletti vessző nélkül írjuk. Ha a 100-nál nagyobb tizedes részben két szám van, akkor a gyakorlatban a tizedes részben szereplő számok összege megegyezik a nevezőkben szereplő nullák számával. Lásd a példát:
időszakos tized
A tized törtrészének megtalálása nem mindig könnyű feladat, amit mi hívunk frakciót generál. A munka megkönnyítése érdekében megfigyelték, hogy a generáló frakció megtalálására használt egyenletben vannak olyan törvényszerűségek, amelyek lehetővé tették egy gyakorlati módszer kidolgozását.
Először is meg kell értenünk, hogy a periodikus tizednek két típusa van, egyszerű és összetett. Egy a tized egyszerű ha tizedes részében csak az ismétlődő rész van, vagyis a periódus. Egy a tized vegyület ha tizedes részében van egy nem periodikus rész.
Példa:
9,323232… → egyszerű periodikus tizedes
Az egész szám értéke 9.
A periódus egyenlő 32-vel.
8,7151515… → összetett periodikus tized
Az egész szám értéke 8.
A nem periodikus tizedes rész egyenlő 7.
A periódus egyenlő 15-vel.
Lásd még: Ekvivalens törtek - az azonos mennyiséget képviselő frakciók
→ 1. eset: egy egyszerű periodikus tizedes törtrészének generálása
Az első esetben a az egyszerű periodikus tizedest törtté változtatja a gyakorlati módszerrel írja be a számlálóba a teljes részt és a vessző nélküli periódust. A nevezőben a periodikus rész minden eleméhez hozzáadunk egy 9-et.
Példa:
A 9,323232 generáló törtrészének - amint láttuk - a periódusa egyenlő 32-vel, vagyis két számmal a periódusában, tehát a nevező 99. Az egész rész plusz a vessző nélküli periodikus rész 932, amely a számláló. Tehát ennek a tizednek a generáló része:
→ 2. eset: az összetett periodikus tizedes törtrészének generálása
Az időszakos összetett tized egy kicsit fárasztóbb. Keressük meg a példában a tized generáló töredékét.
8,7151515… → összetett periodikus tizedes.
Az egész szám értéke 8.
A nem periodikus tizedes rész egyenlő 7.
Az időszak tizedes része egyenlő 15-vel.
A számláló lesz a kivonás 8715 - 87, vagyis az egész részből a periodikus részbe kerülő szám és a tized nem ismétlődő része közötti különbség.
A számláló egyenlő lesz 8715 - 87 = 8628.
A nevező megtalálásához elemezzük a tizedes részt. Először nézzük meg a nem periodikus és periodikus tizedes részt. Ebben az esetben a szám tizedes része az 715. Adjunk hozzá egy a számot, amely a periodikus részben található 9 a nevező elején. Mivel ebben az esetben a periodikus résznek két száma van (15), két 9 lesz a nevezőben. A tizedes rész minden számához, amely nem periodikus, hozzáadunk egy a-t 0 a nevező végén, ami lesz 990.
Hamarosan a frakciót generál a tized lesz:
A racionális számok tulajdonságai
Két racionális szám között mindig lesz egy másik racionális szám
Érdekes elgondolkodni ezen a tulajdonságon, amelyet az ókori népek sokat vitattak, paradoxonná válva. Két racionális számot választva mindig lesz szám közöttük.
Példa:
1 és 2 között 1,5 van; 1 és 1,5 között 1,25 van; az 1 és az 1,25 között ott van az 1,125 és így tovább. Bármennyire is két racionális számot választok, nagyon kevés különbség van közöttük, mindig lehetséges racionális számot találni közöttük. Ez a tulajdonság teszi lehetetlen racionális számokban meghatározni az utódot és az elődöt.
A racionális számok halmazán végzett négy művelet lezárult
Azt mondjuk, hogy a készlet zárva van a összegpéldául, ha két racionális szám összege mindig válaszként újabb racionális számot generál. Ez történik a Q négy műveletével.
A összeadás, kivonás, osztás és szorzás két racionális szám között mindig racionális szám lesz. Valójában még a potencírozás racionális szám egy válaszként mindig racionális számot generál.
A racionális számok halmaza nincs lezárva a sugárzás. Így, mmivel a 2 racionális szám, a 2 négyzetgyöke a irracionális szám.
Lásd még: Ekvivalens törtek - az azonos mennyiséget képviselő frakciók
Racionális számok részhalmazai
Tudjuk, hogyan részhalmazok vagy befogadási reláció a racionális számok halmazához tartozó elemek által alkotott halmazok. Több lehetséges részhalmaz létezik, egész számok halmazaként vagy természetes, mivel minden egész szám racionális, mint minden természetes szám racionális.
Példa:
Egész számok halmaza: Z = {… -3, -2, -1, 0,1, 2, 3,…}.
Amikor ez megtörténik, ezt mondjuk Z ⸦ Q (Ez így hangzik: Z benne van Q-ban, vagy az egész szám halmaza a racionális számok halmazában található.)
Vannak olyan szimbólumok, amelyek elengedhetetlenek a Q részhalmazainak létrehozásához, ezek: +, - és *, amelyek pozitív, negatív és nem null értéket jelentenek.
Példák:
Q * → (így olvasható: nem nulla racionális számok halmaza.)
Q+ → (így olvasható: pozitív racionális számok halmaza.)
Q- → (olvasható: negatív racionális számok halmaza.)
Q*+ → (így olvasható: pozitív és nem nulla racionális számok halmaza.)
Q*- → (olvassa el: negatív és nem nulla racionális számok halmaza.)
Vegye figyelembe, hogy ezek a halmazok Q részhalmazai, mivel minden elem a racionális számok halmazához tartozik. A bemutatott halmazok mellett a Q több részhalmazával is dolgozhatunk, például a páratlan számok által alkotott halmazsal, ill unokatestvérek, vagy párok, végül az alhalmazoknak több és több lehetősége van.
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
