D'Alembert-tétel

D'Alembert-tétel a fennmaradó tétel azonnali következménye, amelyek a polinom x - a típusú binomiális osztásával foglalkoznak. A fennmaradó tétel szerint egy G (x) polinomnak, amelyet elosztunk egy binomiállal x - a, a maradék R értéke megegyezik P (a) -val,
x = a. D'Alembert francia matematikus a fent hivatkozott tétel figyelembevételével bebizonyította, hogy egy polinom bármely Q (x) osztható lesz x - a-val, vagyis az osztás fennmaradó része nulla (R = 0) lesz, ha P (a) = 0.
Ez a tétel megkönnyítette a polinom binomiális (x –a) osztásának kiszámítását, ezért nem szükséges a teljes osztást megoldani, hogy tudjuk, a fennmaradó egyenlő-e vagy nulla-e.
1. példa
Számítsa ki az osztás fennmaradó részét (x² + 3x - 10): (x - 3).
Ahogy D'Alembert tétele mondja, ennek a felosztásnak a maradéka (R) egyenlő lesz:
P (3) = R
3² + 3 * 3 - 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Tehát ennek a felosztásnak a többi része 8 lesz.
2. példa
Ellenőrizze, hogy x⁵ - 2x⁴ + x³ + x - 2 osztható x - 1-gyel.
D’Alembert szerint egy polinom osztható binomállal, ha P (a) = 0.

P (1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P (1) = 1-2 + 1 + 1-2
P (1) = 3 - 4
P (1) = - 1
Mivel P (1) nem nulla, a polinom nem osztható meg az x - 1 binomiállal.
3. példa
Számítsa ki az m értékét úgy, hogy a polinom osztásának maradékát megossza
P (x) = x⁴ - mx³ + 5x² + x - 3 x - 2-vel 6.
Megvan, hogy R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
P (2) = 2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 - 8 m + 20 + 2 - 3 = 6
- 8m = 6 - 38 + 3
- 8m = 9-38
- 8m = - 29
m = 29/8
4. példa
Számítsa ki a háromszoros polinom felosztásának fennmaradó részét³ + x² - 6x + 7 × 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

írta Mark Noah
Matematikából végzett
Brazil iskolai csapat

Polinomok - Math - Brazil iskola

Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm