A mátrix háromszög alakú amikor a főátló felett elhelyezkedő elemek vagy a főátló alatt lévő elemek mind nullák. Az ilyen típusú mátrixnak két lehetséges osztályozása van: az első az, amikor a főátló fölötti elemek nullák, ami egy alacsonyabb háromszög alakú mátrixot állít fel; a második az, amikor a főátló alatt lévő elemek nullák, felállítva egy felső háromszög mátrixot.
A háromszögmátrix determinánsának kiszámításához Sarrus-szabály szerint csak végezze el a fő átlós szorzást, mivel a többi szorzás mind nulla lesz.
Olvassa el: Tömb - mi ez és a létező típusok
Háromszög mátrix típusok
Ahhoz, hogy megértsük, mi a háromszög alakú mátrix, fontos megjegyezni, hogy mi a négyzetmátrix főátlója, amely az azonos számú sort és oszlopot tartalmazó mátrix. A mátrix főátlója az a kifejezés.ij, ahol i = j, vagyis azok a kifejezések, amelyekben a sorszám megegyezik az oszlopszámmal.
Példa:
Annak megértése, hogy mi a négyzetmátrix, és mi annak a fő átlója, megtudjuk, mi az a háromszögmátrix és annak osztályozása. A háromszögmátrixnak két lehetséges osztályozása van:
Aalsó háromszögmátrix és felső háromszögmátrix.- Alsó háromszög mátrix: akkor fordul elő, ha a főátló felett elhelyezkedő összes kifejezés egyenlő nullával, a főátló alatt pedig valós számok.
Numerikus példa:
- Felső háromszög mátrix: akkor fordul elő, ha a főátló alatt lévő összes kifejezés egyenlő nulla, és a főátló fölötti kifejezés valós szám.
Numerikus példa:
átlós mátrix
Az átlós mátrix a háromszögmátrix egyedi esete. Ebben csak a nem átlós kifejezések azok, amelyek a főátlóban találhatók. A főátló felett vagy alatt található kifejezések nulla.
Numerikus példák az átlós mátrixra:
A háromszög alakú mátrix meghatározója
Adott háromszög mátrix, ha ennek a mátrixnak a determinánsát kiszámítjuk Sarrus uralma, láthatja, hogy az összes szorzás nulla, kivéve a főátló szorzatát.
det (A) = a11 · A22· A33 + a12 · A23 · 0 + a13 · 0 · 0 - ( A13 ·A23 ·0 + a11 · A23 · 0 + a12 · 0· A33)
Vegye figyelembe, hogy az első kivételével minden szempontból a nulla az összes tényező szorzás nullával egyenlő nulla, tehát:
det (A) = a11 · A22· A33
Vegye figyelembe, hogy ez a szorzó a főátló fogalmai között.
A háromszög alakú mátrix sorainak és oszlopainak számától függetlenül determináns mindig egyenlő lesz a főátló tagjai szorzatával.
Lásd még: Meghatározó - négyzetmátrixokra alkalmazott jellemző
Háromszög mátrix tulajdonságai
A háromszögmátrixnak van néhány sajátos tulajdonsága.
- 1. ingatlan: a háromszög alakú mátrix meghatározója megegyezik a főátló tagjai szorzatával.
- 2. ingatlan: a két háromszögmátrix közötti szorzat háromszögmátrix.
- 3. tulajdonság: ha a háromszögmátrix főátlójának egyik tagja nulla, akkor annak meghatározója nulla lesz, következésképpen nem lesz megfordítható.
- 4. ingatlan: a háromszögmátrix inverzmátrixa is háromszögmátrix.
- 5. ingatlan: két felső háromszögmátrix összege egy felső háromszögmátrix; hasonlóan két alsó háromszögmátrix összege egy alsó háromszögmátrix.
megoldott gyakorlatok
1) Az A mátrixra tekintettel az A determináns értéke:
a) 2
b) 0
c) 9
d) 45
e) 25
Felbontás
D. Alternatíva
Ez a mátrix alacsonyabb háromszög alakú, ezért meghatározója a főátlón lévő szorzatok szorzata.
det (A) = 1,3-3,3-1,5 = 45
2) Ítélje meg a következő állításokat.
I → Minden négyzetmátrix háromszög alakú.
II → A felső háromszögmátrix és az alsó háromszögmátrix összege mindig háromszögmátrix.
III → Minden átlós azonosságmátrix háromszög alakú mátrix.
A helyes sorrend:
a) V, V, V.
b) F, F, F.
c) F, V, F.
d) F, F, V.
e) V, V, F.
Felbontás
D. Alternatíva
I → Hamis, mert minden háromszögmátrix négyzet alakú, de nem minden négyzetmátrix háromszög alakú.
II → Hamis, mivel a felső és az alsó háromszögmátrix közötti összeg nem mindig eredményez háromszögmátrixot.
III → Igaz, mivel az átlótól eltérő kifejezések nulla.
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm
