Adott bármely P pont, amelynek koordinátái (x0, y0) közösek két r és s egyenesre, azt mondjuk, hogy az egyenesek P-ben egyidejűek. Így a P pont koordinátái kielégítik az r és s egyenesek egyenletét.
tekintettel az egyenesekre a: a1x + b1y + c1 = 0 és s: a2x + b2y + c2 = 0, akkor versenytársak lesznek, ha teljesítik a következő négyzetmátrix által meghatározott feltételt: 
.
Így két vonal egyidejű lesz, ha az a és b együtthatóval képzett mátrix nullától eltérő determinánst eredményez.
1. példa
Ellenőrizze, hogy az egyenesek-e r: 2x - y + 6 = 0 és s: 2x + 3y - 6 = 0 versenytársak.
Felbontás:
Az r és s egyenesek együtthatóinak mátrixának meghatározója a 8-as számot eredményezte, amely eltér a nullától. Ezért az egyenesek versenytársak.
A vonalak metszéspontjának koordinátájának meghatározása
A vonalak metszéspontjának koordinátájának meghatározásához egyszerűen rendezze a vonalak egyenleteit az a-ba egyenletrendszer, x és y értékeinek kiszámítása a helyettesítés megoldási módszerével vagy kiegészítés.
2. példa
Határozzuk meg az r: 2x - y + 6 = 0 és s: 2x + 3y - 6 = 0 egyenesek metszéspontjainak koordinátáit.
az egyenletek elrendezése
r: 2x - y + 6 = 0 → 2x - y = –6
s: 2x + 3y - 6 = 0 → 2x + 3y = 6
Az egyenletrendszer összeállítása:
A rendszer megoldása cseremódszerrel
1. egyenlet - izolálja y
2x - y = –6
–Y = - 6 - 2x (szorozva –1)
y = 6 + 2x
2. egyenlet - y helyett 6 + 2x
2x + 3y = 6
2x + 3 (6 + 2x) = 6
2x + 18 + 6x = 6
2x + 6x = 6-18
8x = - 12
x = -12/8
x = – 3/2
Y értékének meghatározása
y = 6 + 2x
y = 6 + 2 * (- 3/2)
y = 6 - 6/2
y = 6 - 3
y = 3
Ezért az r: 2x - y + 6 = 0 és s: 2x + 3y - 6 = 0 egyenesek metszéspontjának koordinátái x = -3/2 és y = 3.
írta Mark Noah
Matematikából végzett
Brazil iskolai csapat
Analitikai geometria - Math - Brazil iskola
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/condicao-concorrencia-duas-retas.htm
