Tudjuk, hogyan ismételt elrendezés, vagy teljes elrendezés, az összes rendezett átcsoportosítás, amellyel kialakíthatjuk k halmaz elemei nem elemekkel, elemével nem többször is megjelenhet. A kombinatorikus elemzés a matematika területe fejleszti a számlálási technikákat, hogy megtalálják a lehetséges klaszterek számát bizonyos helyzetekben.
Ezen csoportosulások között létezik az ismétléses elrendezés, amely például a jelszavak, rendszámok létrehozása, mások között. E helyzetek megoldására az elrendezés képletét ismétléssel alkalmazzuk számlálási technikaként. Különböző képletek léteznek az ismétlődő elrendezés és a nem ismétlődő elrendezés kiszámításához, ezért fontos tudni, hogyan kell megkülönböztetni ezeket a helyzeteket a helyes számlálási technika alkalmazása érdekében.
Olvassa el: A számlálás alapelve - a kombinatorikus elemzés fő koncepciója
Mi az elrendezés az ismétléssel?
![A járműtáblák gyártásában van egy ismétléses elrendezés. [1]](/f/46a11aed3d571c029896ad4272473301.jpg)
Mindennapi életünkben olyan helyzetekkel találkozunk, amelyek szekvenciákkal és csoportosításokkal járnak, amelyek a válasszon jelszavakat a közösségi hálózatokból vagy a bankból, valamint olyan telefonszámokban vagy helyzetekben, ahol ez szerepel sorok. Egyébként olyan helyzetek vesznek körül bennünket, amelyek ezeket a csoportosulásokat érintik.
Például a rendszámtáblákon, amelyek három betűből és négy számból állnak, a egyedi sztring államonként, amely azonosítja az autókat, ebben az esetben dolgozunk megállapodások. Amikor lehetséges megismételni az elemeket, akkor a teljes elrendezéssel vagy elrendezéssel dolgozunk ismétléssel.
Adott egy halmaz nem elemeket, ismételéssel elrendezésként ismerjük az összes csoportosulás, amellyel kialakíthatjuk k ennek elemei készlet, ahol egy elem többször is megismételhető. Például a jármű rendszámain a lehetséges rendszámok számát alakíthatjuk ki figyelembe véve, hogy három betűjük és négy számuk van, és hogy a betűk és számok megismételhetők.
A lehetséges ismétlődő elrendezések számításához nagyon egyszerű képletet használunk.
Elrendezési képlet ismétléssel
Megtalálni a teljes megállapodás összegét nem elkülönített elemek k ban ben
ó, egy adott helyzetben, amely lehetővé teszi egy elem megismétlését, a következő képletet használjuk:
LEVEGŐnem,k = nemk
AR → elrendezés ismétléssel
nem → a készlet elemeinek száma
k → a kiválasztandó elemek száma
Lásd még: Egyszerű kombináció - számlálja az adott halmaz összes részhalmazát
Az ismétlődő elrendezés számának kiszámítása
Az ismétlődő elrendezés képletének jobb megértéséhez lásd az alábbi példát.
1. példa:
A banki jelszó öt számjegyből áll, amelyek kizárólag számokból állnak, mekkora a lehetséges jelszavak száma?
Tudjuk, hogy a jelszó ötjegyű karakterlánc, és az ismétlésekre nincs korlátozás, ezért az elrendezési képletet ismétléssel alkalmazzuk. A felhasználónak 10 számjegyből kell választania, amely a jelszó öt számjegyének mindegyikét összeállítja, vagyis meg akarjuk számolni az elrendezést úgy, hogy öt elemenként 10 elemet ismételünk.
LEVEGŐ10,5 = 105 = 10.000
Tehát 10 000 jelszólehetőség van.
2. példa:
Tudva, hogy a jármű rendszámai három betűből és négy számból állnak, hány rendszámot lehet kialakítani?
Ábécénk 26 betűből áll, és 10 lehetséges szám van, ezért osszunk két teljes tömbre, és keressük meg a betűk és számok lehetséges tömbjeinek számát.
LEVEGŐ26,3 = 26³ = 17.576
LEVEGŐ10,4 = 104 = 10.000
Így a lehetséges megállapodások teljes összege:
17.576 · 10.000 = 1.757.600.000
Különbség az egyszerű elrendezés és az ismételt elrendezés között
Az egyszerű elrendezés megkülönböztetése az ismétléstől elengedhetetlen a téma problémáinak megoldásához. A megkülönböztetés szempontjából fontos felismerni, hogy amikor olyan helyzetről van szó, amelyben vannak olyan újracsoportosulások, amelyeknek a rendje és ha ezek az átcsoportosítások lehetővé teszik a kifejezések közötti ismétlést, akkor az ismétléssel rendelkező megállapodás, más néven elrendezés teljes. Ha az átcsoportosítás nem teszi lehetővé az ismétlést, ez körülbelül egyszerű elrendezés.
Az egyszerű elrendezés képlete eltér attól, amelyet az ismétlés elrendezéséhez használunk.
Korábban már láthattunk példákat az ismétlődő elrendezésre, most pedig az egyszerű elrendezésre
Példa:
Paulo a tíz iskolai könyvéből háromat szeretne elhelyezni a polcán, amelyek mindegyike különbözik egymástól, hányféleképpen rendezheti ezeket a könyveket?
Vegye figyelembe, hogy ebben az esetben a sorrend fontos, de nincs ismétlés, mivel ez egy egyszerű elrendezés. A lehetséges csoportosítások számának meghatározásához:
Ha többet szeretne megtudni erről a kombinációs elemzésben használt csoportosítás másik formájáról, olvassa el a szöveget: Aegyszerű elrendezés.
Megoldott gyakorlatok:
1. kérdés - (Enem) Egy bank felkérte ügyfeleit, hogy hozzanak létre egy személyes hatjegyű jelszót, amely csak 0 és 9 közötti számokat tartalmaz, hogy hozzáférjenek a folyószámlához az interneten keresztül. Az elektronikus biztonsági rendszerek szakembere azonban azt javasolta, hogy a bank vezetése újraregisztrálja felhasználóit, erre kérve mindegyikükhöz egy új, hat számjegyből álló jelszó létrehozása, amely lehetővé teszi az ábécé 26 betűjének használatát, a 0 és a számjegyek mellett 9. Ebben az új rendszerben minden nagybetű különállónak tekinthető a kisbetűs változattól. Ezenkívül más típusú karakterek használata tilos volt.
A jelszórendszer változásának értékelésének egyik módja a javítási együttható ellenőrzése, ami a jelszólehetőségek új számának oka a régihez képest. Az ajánlott változás-javítási együttható:
Felbontás
A alternatíva
A régi jelszó egy ismétlődő tömb, mivel minden számból állhat, tehát hat elemből vett 10 elemből álló tömb.
LEVEGŐ10,6 = 106
Az új jelszó 10 számjegyből állhat, valamint nagybetűkből (26 betű) és kisbetű (26 betű), tehát a jelszó minden számjegyhez összesen 10 + 26 + 26 = 62 lehetőségeket. Mivel hat számjegy van, kiszámoljuk az elrendezést úgy, hogy hat elemenként 62 elemet ismételünk.
LEVEGŐ62,6 = 626
A ok az új jelszólehetőségek száma a régihez képest 626/106.
2. kérdés - (Enem 2017) Egy vállalat felépíti weboldalát, és reméli, hogy hozzávetőlegesen egymillió ügyfelet vonzhat. Az oldal eléréséhez szüksége lesz egy jelszóra, amelynek formátumát a vállalat határozza meg. A programozó öt formátum opciót kínál, amelyeket a táblázat ismertet, ahol az „L” és a „D” a nagybetűt és a számjegyet jelenti.
Az ábécé betűi, a 26 lehetséges közül, valamint a 10 lehetséges számjegyek megismételhetők bármelyik lehetőségben.
A vállalat olyan formátumot szeretne választani, amelynek a lehetséges különálló jelszavak száma nagyobb, mint várható ügyfelek száma, de ez a szám nem haladja meg a várt szám kétszeresét ügyfelek.
Felbontás
E alternatíva
Az egyes lehetőségek kiszámításával meg akarjuk találni azt a jelszót, amely több mint egymillió és kevesebb mint kétmillió lehetőséggel rendelkezik.
I → LDDDDD
26 ·105 meghaladja a kétmilliót, így nem elégíti ki a vállalat kérését.
II → DDDDDD
106 egymillió, tehát nem elégíti ki a vállalat kérését.
III → LLDDDD
26² · 104 meghaladja a kétmilliót, így nem elégíti ki a vállalat kérését.
IV → DDDDD
105 milliónál kevesebb, ezért nem elégíti ki a vállalat kérését.
V → LLLDD
A 26³ · 10² egymillió és kétmillió között van, ezért ez a jelszósablon ideális.
Kép hitel
[1] Rafael Berlandi / Shutterstock
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm