Trigonometrija je riječ grčkog podrijetla koja se odnosi na mjeru od tri kuta. Studije iz ovog područja matematike usredotočene su na trokuta, koji su poligoni koji imaju tri stranice i, prema tome, tri kuta. Isprva, trigonometrija bavi se proučavanjem nekih svojstava i odnosa pravokutnih trokuta kako bi kasnije povezao mjerenja stranica trokuta s mjerenjem kutova.
Ta se svojstva i odnosi proširuju na bilo koje trokute kroz teoreme poznate kao zakon o grijesima i kosinusni zakon. Kasnije se neki od ovih rezultata promatraju u trokutima čije su stranice zapaženi segmenti kruga, koji je poznat kao "trigonometrijski krug".
THE trigonometrija predlaže veliku novinu. Prije njega bilo je moguće uzeti u obzir samo proračune i svojstva koja uključuju isključivo stranice ili isključivo kutove trokuta ili osnovne odnose između tih elemenata. Po njegovom dolasku moguće je izravno povezati mjere stranica trokuta s mjerenjem jednog od njegovih kutova. Značajno je da odnosi između značajnih stranica i segmenata unutar trokuta također čine trigonometrija.
Prije nego što se udubim u koncept trigonometrija, Važno je znati koji su najvažniji elementi u pravokutnom trokutu. Ti su elementi navedeni u nastavku:
Elementi pravokutnog trokuta
Svaki pravokutni trokut može se podijeliti u dva druga pravokutna trokuta, kao što je prikazano na donjoj slici, prateći visinu "h" u odnosu na bazu "a".
Visina ovog pravokutnog trokuta svojom osnovom tvori dva kuta od 90 °
Uzimajući u obzir trokut ABD, pravokutnik u B, moguće je uočiti sljedeće elemente:
1 - Strane AB i BD nazivaju se stranicama, a mjere su c i b;
2 - AD strana naziva se hipotenuza i njezino mjerenje je a. Ova strana uvijek će biti suprotna kutu od 90 °;
3 - BE je visina trokuta ABD u odnosu na bazu AD i njegovo mjerenje je h. (sjećajući se da visina uvijek tvori kut od 90 ° s bazom u odnosu na nju);
4 - AE je ortogonalna projekcija AB kraka preko hipotenuze. Njegova je mjera m;
5 - ED je ortogonalna projekcija noge BD preko hipotenuze. Njegovo mjerenje je n.
Dalje, predstavljamo i raspravljamo o nekim svojstvima viđenim u trigonometriji, na temelju gore izloženih elemenata pravokutnog trokuta.
Metričke relacije u pravokutnom trokutu
To su jednakosti koje povezuju stranice, visinu i pravokutne projekcije pravokutnog trokuta:
1) c2 = prosjek
2) b · c = a · h
3) h2 = m · n
4) b2 = ne
5)2 = b2 + c2 (Pitagorin poučak)
Trigonometrijski omjeri ili omjeri u pravokutnom trokutu
Te jednakosti odnose omjere stranica pravokutnog trokuta s jednim od njegovih oštrih kutova. Da biste to učinili, potrebno je fiksirati jedan od dva kuta i u pravokutnom trokutu promatrati definicije suprotne i susjedne strane:
Pravokutni trokut, ističući α kut
BD je suprotna noga na kut α;
AB je susjedna noga na kut α.
Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)
To su preduvjeti za definiranje trigonometrijski omjeri. Jesu li oni:
→ Sinus α
sin α = Katet nasuprot α
Hipotenuza
→ Kosinus od α
cos α = Catheto uz α
Hipotenuza
→ Tangenta α
tg α = Katet nasuprot α
Catheto uz α
Ti se razlozi odnose na bilo koji pravokutni trokut koji ima akutni kut jednak α. Rezultat ovih dijeljenja uvijek je jednak, bez obzira na duljinu stranice trokuta, kao dva trokuta koja imaju dva jednaka kuta, zbog sličnost trokuta kut-kut, imaju proporcionalne stranice. Stoga slijedi da je omjer stranica jednak.
trigonometrijski krug
Nazvan još i trigonometrijskim ciklusom ili trigonometrijskom kružnicom (točnije, ali rjeđe nazive), orijentirani je krug polumjera 1. Na ovom opsegu, a pravokutni trokut, čiji se kut α podudara s ishodištem, tako da visina ovog trokuta ide od osi apscise do ruba kružnice.
Ova se visina poklapa s vrijednošću sinus, jer je to suprotna stranica kutu α. Mjera koja ide od točke gdje visina odgovara osi apscise do ishodišta poklapa se sa stranom uz kut α, odnosno s vrijednošću kosinus.
Do ovih podudarnosti dolazi zato što je hipotenuza uvijek 1, jer je radijus kruga. Zabilježite ova svojstva na donjoj slici:
Krug polumjera 1, na kojem je postavljen pravokutni trokut za procjenu njegovih svojstava
Koji god pravokutni trokut konstruiran na ovom krugu, stranica koja se podudara s dijelom osi apscise mjeri točno kosinusnu vrijednost α, a druga strana točno sinusnu vrijednost α.
Trigonometrijske funkcije
Pomoću trigonometrijske kružnice moguće je definirati trigonometrijske funkcije koji povezuju svaki element skupa realnih brojeva s jednim elementom također skupa realnih brojeva. Međutim, ti su brojevi izraženi u radijanima, što je mjerna jedinica kao funkcija π koja se koristi jer, nakon 360 ° u trigonometrijski krug, brojanje stupnjeva i, shodno tome, domene i elemenata protiv domene funkcije koja se temelji na njoj može se ponovno pokrenuti s nule.
temeljni odnosi
Temeljni odnosi trigonometrije su:
1) Temeljni odnos 1
Sen2α + cos2α = 1
2) tangenta od α
tg α = grijeh α
cos α
3) Kotangens od α, koji je inverzna tangenta α
cotg α = cos α
grijeh α
4) Secant od α, koja je inverzna kosinusu α
sec α = 1
cos α
5) Cossecant of α, koji je inverzan sinusu α
cossec α = 1
grijeh α
6) Odnos koji proizlazi 1
tg2α + 1 = sek2α
7) Odnos 2
cotg2α + 1 = cossec2α
8) Ponavljajući odnos 3
cotg α = 1
tg α
Napisao Luiz Paulo Moreira
Diplomirao matematiku
Želite li uputiti ovaj tekst u školskom ili akademskom radu? Izgled:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Što je trigonometrija?"; Brazil škola. Dostupno u: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm. Pristupljeno 27. lipnja 2021.
funkcija, trigonometrijska funkcija, tangenta, kosinus, sinus, kosekant, kotangens, luk, kutovi, vrijednost luk, vrijednost trigonometrijske funkcije, odnos između kuta i trigonometrijske funkcije, odnosi izvedenice.
radijan, kut, stupanj, kružnica, luk, luk kružnice, transformacija od stupnja u radijan, definicija radijana, mjera kuta, mjera luka, duljina opsega u radijanima, duljina opseg.
