Interni proizvod između dva vektora

O točkasti proizvod između dva vektora je stvaran broj koji povezuje veličinu ovih vektora, odnosno njihovu duljinu i kut između njih. Da bi se izračunao, potrebno je znati njihove duljine i kut koji tvore.

Koristeći ravninu kao osnovu, vektor pokazuje mjesto, intenzitet, smjer i smjer. Stoga se koristi u proučavanjima mehanike (fizike) kao predstavnik sile koja se primjenjuje na objekt.

Uobičajeni prikaz vektora je strelica koja završava u točki. Za koordinate ove točke kaže se da su koordinate vektora počevši od točke O (0,0). Zapišemo v = (a, b) da ga predstavimo. Dakle, vektor v = (1,2) nacrtan je kako slijedi:

Primjer vektora počevši od ishodišta

Da biste izračunali duljinu ovog vektora, uzmite u obzir pravokutni trokut koji on tvori i njegovu projekciju na os x (ili os y), kao što je prikazano na sljedećoj slici:

Duljina vektora v

Duljina vektora v naziva se v vektorska norma ili vektorski modul v a predstavlja ga | v |. Imajte na umu da je norma vektora v = (a, b) upravo mjera hipotenuze trokuta predstavljena na gornjoj slici. Za izračunavanje ove mjere koristimo Pitagorin teorem:

| v |² = the² + b²

| v | = √ (a² + b² )

Proizvod s dvije vektorske točke

S obzirom na dva vektora u i v, unutarnji proizvod između njih predstavljen je s i definira se kao:

= | u || v | · cosθ

Ovo je svojevrsno množenje između dva vektora, međutim, ono se ne naziva proizvodom, jer nije uobičajeno množenje, jer uključuje kut koji tvore ova dva vektora.

Kut između dva vektora

Prvi rezultat koji proizlazi iz gornje definicije je kut između dva vektora. Uz stvarne brojeve "točkasti proizvod", "u vektorska norma" i "v vektorska norma", moguće je izračunati kut između vektora u i v. Da biste to učinili, samo izvedite izračune:

= | u || v | · cosθ

= cosθ
| u || v |

Stoga, dijeleći unutarnji umnožak s normama vektora u i v, nalazimo stvarni broj koji se odnosi na kosinus između ova dva vektora i, prema tome, kut između njih.

Imajte na umu da ako je kut između dva vektora ravan, cosθ je jednak nuli. Stoga će gornji proizvod imati sljedeći rezultat:

= 0

Iz ovoga se može zaključiti da će, s obzirom na dva vektora u i v, biti pravokutni ako = 0.

Unutarnji proizvod izračunat iz vektorskih koordinata

Uzimajući u obzir dva vektora u = (a, b) i v = (c, d), umnožak između u i v dan je kao:

= = a · c + b · d

Interna svojstva proizvoda

S obzirom na vektore u, v i w i stvarni broj α, imajte na umu:

i) =

To znači da je unutarnji proizvod vektora "komutativan".

ii) = +

Ovo je svojstvo usporedivo s distributivnošću množenja preko zbrajanja.

iii) = = α

Izračunavanje unutarnjeg proizvoda između u i v pomnoženog sa stvarnim brojem α isto je kao i izračunavanje unutarnjeg proizvoda između αv i u ili između v i αu.

iv) = 0 <=> v = 0

Unutarnji umnožak v s v je samo nula ako je v nulti vektor.

v) ≥ 0 za sve v.

Unutarnji umnožak v s v uvijek će biti veći ili jednak nuli.

Napisao Luiz Paulo Moreira
Diplomirao matematiku

Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-interno-entre-dois-vetores.htm