Jednadžba: što je to, osnovni pojmovi, vrste, primjeri

Jedan jednadžba je matematička rečenica koja ima jednakost i barem jednu nepoznatu, to jest kada imamo sudjelovanje a algebarski izraz i jednakost. Proučavanje jednadžbi zahtijeva prethodno znanje, poput proučavanja numerički izrazi. Svrha jednadžbe je pronaći nepoznatu vrijednost koji pretvara jednakost u identitet, odnosno istinsku jednakost.

Pročitajte i vi:Operacije s razlomcima - kako izračunati?

Osnovni pojmovi za proučavanje jednadžbe

Jednadžba je matematička rečenica koja ima a nepoznata, barem, i a jednakost, a možemo ga rangirati po broju nepoznanica. Pogledajte nekoliko primjera:

a) 5t - 9 = 16

Jednadžba je nepoznata, predstavljena slovom t.

b) 5x + 6y = 1

Jednadžba ima dvije nepoznanice, predstavljene slovima x i g.

c) t⁴ - 8z = x

Jednadžba ima tri nepoznanice, predstavljene slovima u redu,z i x.

Bez obzira na jednadžbu, moramo uzeti u obzir vašu svemir postavljen,sastavljen od svih mogućih vrijednosti koje možemo dodijeliti nepoznatima, ovaj je skup predstavljen slovom U.

• Primjer 1

Razmotrimo jednadžbu x + 1 = 0 i njezino moguće rješenje x = –1. Sada uzmite u obzir da su svemirski skup jednadžbe

prirodno.

Imajte na umu da navodno rješenje ne pripada skupu svemira, jer su njegovi elementi sve moguće vrijednosti koje nepoznanica može poprimiti, pa x = -1 nije rješenje jednadžbe.

Naravno, što je veći broj nepoznanica, to je teže odrediti svoje rješenje. THE riješenje ili izvor jednadžbe je skup svih vrijednosti koje, kada se dodijele nepoznatom, čine jednakost istinitom.

• Primjer 2

Razmotrite jednadžbu s nepoznatim 5x - 9 = 16, provjerite je li x = 5 rješenje ili korijen jednadžbe.

Tako da je to moguće reći x = 5 je rješenje jednadžbe, ovu vrijednost moramo zamijeniti izrazom, ako nađemo istinsku jednakost, broj će biti testirano rješenje.

5x – 9 = 16

5(5) – 9 = 16

25 – 9 = 16

16 = 16

Vidite da je pronađena jednakost istinita, pa imamo identitet, a broj 5 je rješenje. Tako možemo reći da je skup rješenja dan:

S = {5}

• Primjer 3

Razmotrimo jednadžbu t² = 4 i provjeri jesu li t = 2 ili t = –2 rješenja jednadžbe.

Analogno tome, u jednadžbu bismo trebali zamijeniti vrijednost t, međutim, imajte na umu da imamo dvije vrijednosti za nepoznato i stoga bismo provjeru trebali izvesti u dva koraka.

Korak 1 - Za t = 2

t²= 4

2² = 4

4 = 4

Korak 2 - Za t = –2

t² = 4

(–2)² = 4

4 = 4

Pogledajte za t = 2 i t = - 2 nalazimo identitet, pa su ove dvije vrijednosti rješenja jednadžbe. Dakle, možemo reći da je skup rješenja:

S = {2, –2}

Vrste jednadžbi

Jednadžbu možemo klasificirati i prema položaju koji zauzimaju nepoznanice. Pogledajte glavne vrste:

• Polinomne jednadžbe

Na polinomne jednadžbe karakterizirani su polinomom jednakim nuli. Pogledajte nekoliko primjera:

The) 6t³+ 5t²–5t = 0

Brojevi6, 5 i –5 su koeficijenti jednadžbe.

B) 9x – 9= 0

Brojevi 9 i – 9 su koeficijenti jednadžbe.

c) g²– g – 1 = 0

Brojevi 1, – 1 i – 1 su koeficijenti jednadžbe.

• Jednadžbeni stupnjevi

Polinomske jednadžbe mogu se klasificirati prema njihovom stupnju. Kao i polinomi, stupanj polinomne jednadžbe dat je sa najveća snaga koja ima koeficijent koji nije nula.

Iz prethodnih primjera a, b i c imamo da su stupnjevi jednadžbi:

a) 6t³ + 5t² –5t = 0 → Polinomna jednadžba od treći stupanj

b) 9x - 9 = 0 → Polinomna jednadžba od prvi stupanj

ç) g² - y - 1 = 0 → Polinomna jednadžba od Srednja škola

Pročitajte i vi: kvadratna jednadžbau: kako izračunati, vrste, primjeri

• racionalne jednadžbe

Racionalne jednadžbe karakterizirane su njihovim nepoznanice u nazivniku a frakcija. Pogledajte nekoliko primjera:

Pročitajte i vi: Što su racionalni brojevi?

• iracionalne jednadžbe

Na iracionalne jednadžbe karakterizirani su time što imaju svoje nepoznanice unutar n-tog korijena, odnosno unutar radikala koji ima indeks n. Pogledajte nekoliko primjera:

• eksponencijalne jednadžbe

Na eksponencijalne jednadžbe imati nepoznanice smještene u eksponentu od a potencija. Pogledajte nekoliko primjera:

• logaritamska jednadžba

Na logaritamske jednadžbe karakterizirani su time što imaju jedna ili više nepoznanica u nekom dijelu logaritam. Vidjet ćemo da, kada se primjenjuje definicija logaritma, jednadžba pada u nekim od prethodnih slučajeva. Pogledajte nekoliko primjera:

Pogledajte i: Jednadžba prvog stupnja s nepoznatom

Kako riješiti jednadžbu?

Da bismo riješili jednadžbu, moramo proučiti metode korištene u svakoj vrsti, odnosno za svaku vrstu jednadžbe postoji drugačija metoda za određivanje mogućih korijena. Međutim sve ove metode jesu izvedena iz principa ekvivalencije, pomoću nje je moguće riješiti glavne vrste jednadžbi.

• Načelo ekvivalencije

Drugo načelo ekvivalencije, možemo slobodno djelovati na jednoj strani jednakosti sve dok to činimo i na drugoj strani jednakosti. Da bismo poboljšali razumijevanje, imenovat ćemo ove strane.

Stoga princip ekvivalencije kaže da je to moguće operirati prvi ud slobodno sve dok ista operacija se radi na drugom članu.

Da biste provjerili princip ekvivalencije, uzmite u obzir sljedeću jednakost:

5 = 5

Idemo sada dodati s obje strane broj 7 i imajte na umu da će jednakost i dalje biti istina:

5 =5

5 + 7= 5 + 7

12 = 12

Idemo sada oduzeti 10 s obje strane jednakosti, imajte na umu da će jednakost i dalje biti istina:

12 = 12

12 – 10 = 12 – 10

2 = 2

vidi da možemo pomnožiti ili udio i podignite na a potencija ili čak izdvojiti a izvor, sve dok se to radi na prvom i drugom članu, jednakost će uvijek vrijediti.

Da bismo riješili jednadžbu, moramo koristiti ovaj princip zajedno sa znanjem o spomenutim operacijama. Da bismo olakšali razvoj jednadžbi, izostavimo radnju provedenu na prvom članu, ekvivalentno je reći da prosljeđujemo broj drugom članu, zamjenjujući znak za suprotno.

Ideja da se odredi rješenje jednadžbe je uvijek izolirati nepoznato pomoću principa ekvivalencije, Pogledajte:

• Primjer 4

Koristeći princip ekvivalencije, odredite skup rješenja jednadžbe 2x - 4 = 8 znajući da je svemirski skup dan: U = ℝ.

2x - 4 = 8

Da bismo riješili polinomsku jednadžbu prvog stupnja, moramo ostaviti nepoznato u prvom članu izolirano. Za to ćemo iz prvog člana uzeti broj –4, dodajući 4 na obje strane, budući da je –4 + 4 = 0.

2x - 4 = 8

2x - 4+ 4 = 8+ 4

2x = 12

Imajte na umu da je izvođenje ovog postupka ekvivalent jednostavno puštanju broja 4 s suprotnim predznakom. Dakle, da bismo izolirali nepoznati x, proslijedimo broj 2 drugom članu, jer množi x. (Zapamtite: inverzna operacija množenja je dijeljenje). Bilo bi isto kao da obje strane podijelimo s 2.

Stoga je skup rješenja dan:

S = {6}

• Primjer 5

Riješi jednadžbu 2^{x + 5} = 128 znajući da je svemirski skup dat U = ℝ.

Da bismo riješili eksponencijalnu jednadžbu, upotrijebimo prvo sljedeće svojstvo potenciranja:

The^{m + n} = the^m · A^Ne

Također ćemo se poslužiti činjenicom da 2² = 4 i 2⁵ = 32.

2^{x + 5} = 128

2^x · 2⁵ = 128

2^x · 32 = 128

Imajte na umu da je moguće podijeliti obje strane s 32, odnosno dijeliti broj 32 drugom članu.

Dakle, moramo:

2^x = 4

2^x = 2²

Jedina vrijednost x koja zadovoljava jednakost je broj 2, pa je x = 2, a skup rješenja dan je:

S = {2}

Jednadžbe su prisutne u nekoliko područja znanosti.

riješene vježbe

Pitanje 1 - Razmotrimo skup svemira U = ℕ i odredimo rješenje sljedeće iracionalne jednadžbe:

Razlučivost

Da bismo riješili ovu jednadžbu, moramo se baviti uklanjanjem korijena prvog člana. Imajte na umu da za to moramo prvog člana podići na isti indeks kao i korijen, odnosno na kocku. Načelom ekvivalencije moramo također podići drugog člana jednakosti.

Imajte na umu da sada moramo riješiti polinomsku jednadžbu drugog stupnja. Proslijedimo broj 11 drugom članu (oduzmemo 11 s obje strane jednakosti), kako bismo izolirali nepoznati x.

x² = 27 – 11

x² = 16

Sada da odredimo vrijednost x, uvidimo da postoje dvije vrijednosti koje zadovoljavaju jednakost, x ’= 4 ili x’ ’= –4, jednom:

4² = 16

i

(–4)² = 16

Međutim, imajte na umu u izjavi pitanja da je zadani svemirski skup skup prirodnih brojeva, a broj –4 mu ne pripada, pa je skup rješenja dan:

S = {4}

pitanje 2 - Razmotrimo polinomsku jednadžbu x² + 1 = 0 znajući da je svemirski skup dan U = ℝ.

Razlučivost

Za princip ekvivalencije oduzmite 1 od oba člana.

x² + 1 – 1= 0 – 1

x² = – 1

Imajte na umu da jednakost nema rješenje, jer su svemirski skupovi stvarni brojevi, odnosno svi vrijednosti koje nepoznati mogu pretpostaviti su stvarne, a ne postoji stvarni broj koji je na kvadrat negativan.

1² = 1

i

(–1)² = 1

Prema tome, jednadžba nema rješenje u skupu reala, pa stoga možemo reći da je skup rješenja prazan.

S = {}

napisao Robson Luiz
Učitelj matematike