Svi postojeći brojevi stvoreni su prema ljudskim potrebama u vrijeme stvaranja, kao što je slučaj s prirodnim brojevima, koji stvoreni su za brojanje i kontrolu "zaliha" i iracionalnih brojeva koji su uspostavljeni za rješavanje problema u vezi s korijenje. Upravo su problemi s korijenima pokrenuli znanje o složeni brojevi.
Kvadratna jednadžba x2 + 4x + 5 = 0 nema stvarnih korijena. To znači da je unutar skupa realnih brojeva nemoguće pronaći vrijednosti za x koje su jednake prvom članu ove jednadžbe drugoj. Taj fenomen promatramo od početka Bhaskarine formule:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Jednom kada se pronađe negativna vrijednost za Δ, postaje nemoguće nastaviti s Bhaskarainom formulom, jer zahtijeva izračunavanje √Δ (korijena delte). Sada znamo da se √– 4 ne može izračunati jer ne postoji stvarni broj koji bi, pomnožen sam sa sobom, rezultirao - 4.
Za zadovoljenje ovih potreba stvoreni su složeni brojevi. Od svog nastanka, model √– 4 može se razviti kako slijedi:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
A √ (- 1) se razumije kao nova vrsta broja. Skup svih tih brojeva poznat je kao skup kompleksnih brojeva, a svaki predstavnik ovog novog skupa definiran je na sljedeći način: Neka je A složeni broj,
A = The + Bja, gdje Thei B su stvarni brojevi i i = √ (- 1)
U ovoj definiciji, The Poznat je kao stvarni dio A i B Poznat je kao zamišljeni dio A.
Svojstva kompleksnih brojeva
Realni brojevi u cjelini i geometrijski predstavljaju liniju. Kompleksni brojevi pak predstavljaju cijelu ravninu. Kartezijanska ravnina koja se koristi za predstavljanje složenih brojeva poznata je kao Argand-Gaussova ravnina.
Svaki složeni broj može se predstaviti na Argand-Gaussovoj ravnini kao točka koordinata (a, b). Udaljenost od točke koja predstavlja kompleksni broj do točke (0,0) naziva se modulom kompleksnog broja., koji je definiran:
Neka je A = a + bi kompleksni broj, njegov modul je | A | = a2 + b2
Kompleksni brojevi također imaju inverzni element, koji se naziva konjugat. Definira se kao:
Neka je A = a + bi kompleksni broj,
Ā = a - bi je konjugat ovog broja.
Svojstvo 1: Umnožak kompleksnog broja i njegovog konjugata jednak je zbroju kvadrata realnog i imaginarnog dijela kompleksnog broja. Matematički:
AĀ = a2 + b2
Primjer: Koji je umnožak A = 2 + 5i njegovim konjugatom?
Samo izvršite izračun: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Ako bismo odlučili napisati konjugat A i nakon toga izvesti množenje AĀ, imali bismo:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 - 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
Odnosno, korištenjem predloženog svojstva moguće je izbjeći dugi izračun kao i pogreške tijekom tih izračuna.
Svojstvo 2: Ako je kompleksni broj A jednak svom konjugatu, tada je A stvaran broj.
Neka je A = a + bi. Ako je A = Ā, tada:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Prema tome, b = 0
Stoga je obvezno da je svaki složeni broj jednak njegovom konjugati ujedno i stvaran broj.
Svojstvo 3: Konjugat zbroja dvaju složenih brojeva jednak je zbroju konjugata tih brojeva., to je:
_____ _ _
A + B = A + B
Primjer: Koji je konjugat zbroja 7 + 9i i 2 + 4i?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i
Možete prvo dodati, a zatim izračunati konjugat rezultata ili prvo napraviti konjugate pa kasnije dodati rezultate.
Svojstvo 4: Konjugat proizvoda između dva kompleksna broja jednak je umnošku njihovih konjugata, tj.
__ _ _
AB = A · B
Primjer: Koji je umnožak konjugata A = 7i + 10 i B = 4 + 3i?
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4 - 3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i
Ovisno o potrebi za vježbom, moguće je prvo množiti i nakon toga izračunati konjugat ili prikazati konjugate prije izvođenja množenja.
Svojstvo 5: Umnožak kompleksnog broja A i njegovog konjugata jednak je kvadratu modula A, tj.
AĀ = | A |2
Primjer: A = 2 + 6i, tada AĀ = | A |2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Imajte na umu da nije potrebno pronaći konjugat i izvršiti množenje distributivnim svojstvom množenja nad zbrajanjem (poznato kao mali tuš).
Svojstvo 6: Modul kompleksnog broja jednak je modulu njegovog konjugata. Drugim riječima:
| A | = | Ā |
Primjer: Naći modul konjugata kompleksnog broja A = 3 + 4i.
Imajte na umu da nije potrebno pronaći konjugat, jer su moduli isti.
| A | = √ (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Kad bi se izračunalo | Ā |, jedina promjena bila bi B negativni kvadrat, što ima pozitivan rezultat. Dakle, rezultat bi i dalje bio korijen 25.
Svojstvo 7: Ako su A i B složeni brojevi, tada je modul umnoška A i B jednak modulu umnoška A i B., tj .:
| AB | = | A || B |
Primjer: Neka su A = 6 + 8i i B = 4 + 3i, koliko je | AB |?
Imajte na umu da prije izračunavanja modula nije potrebno množiti složene brojeve. Moguće je izračunati modul svakog složenog broja zasebno, a zatim samo pomnožiti rezultate.
| A | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| B | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| AB | = | A || B | = 10,5 = 50
Napisao Luiz Paulo Moreira
Diplomirao matematiku
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm
