Poliedri: što su, elementi, svojstva

Poliedri (s latinskog poli - mnogi - i hedron - lice) su figuretrodimenzionalni nastala udruživanjem pravilnih poligona, u kojima su poliedarski kutovi sukladni. Unija ovih poligona tvori elemente koji čine poliedar, oni su: vrhovi, rubovi i lica. Međutim, nije svaka trodimenzionalna figura poliedar, primjer za to su figure koje se nazivaju zakrivljena lica okrugla tijela.

Postoji matematička formula koja povezuje elemente poliedra tzv Eulerova veza. Uz to, poliedri su podijeljeni u dvije skupine: takozvani poliedri konveksan i nije konveksan. Neki poliedri zaslužuju posebnu pažnju, oni se zovu Platonovi poliedri: tetraedar, heksahedron, oktaedar, dodekaedar i ikosaedar.

Pročitajte i vi: Razlike između ravnih i prostornih figura

konveksni poliedri

Poliedar će biti konveksan kada ga tvori poligona konveksan, tako da se prihvaćaju sljedeći uvjeti:

1. dva poligona Nikada oni su koplanarni, odnosno ne pripadaju istoj ravnini.
2. Svaka strana jednog od ovih poligona pripada samo dvama poligonima.
3. Ravnina koja sadrži bilo koji od ovih poligona ostavlja ostale poligone u istom poluprostoru.

Pročitajte i vi:Zbroj unutarnjih i vanjskih kutova konveksnog mnogougla

Elementi konveksnog poliedra

Razmotrimo ovaj konveksni poliedar:

Vas četverokuta na slici su pozvani lica poliedra.

Vas peterokuta su lica i baza poliedra, koja je nazvana peterokutni osnovni poliedar.

Pozvani su segmenti koji tvore svako lice rubovi poliedra.

Pozvane su točke na kojima se rubovi susreću vrhovi.

Pozvat će se segment JC dijagonalno poliedra, označeno sa:

JC je jedna od dijagonala, koliko razumijemo dijagonalno poliedra kao bića segment linije koji spaja dva vrha koji ne pripadaju istom licu.

Također imamo poliedarski kut, oblikovan između rubova, označen sa:

Poliedarski kut naziva se a trokutasti Kada tri rubovi potječu iz vrha. Isto tako, zove se tetraedar, slučaj četiri rubovi potječu iz vrha i tako dalje.

Od sada ćemo uspostaviti neke oznake, a to su:

Znati više: Planiranje geometrijskih čvrstih tijela

Svojstva konveksnog poliedra

• Svojstvo 1

Zbroj bridova svih ploha jednak je dvostrukom broju bridova poliedra.

Primjer

Poliedar ima 6 četvrtastih lica. Odredimo broj bridova.

Prema svojstvu, samo pomnožite broj rubova lica s brojem lica, a to je jednako dvostrukom broju bridova. Tako:

• Svojstvo 2

Zbroj vrhova svih lica jednak je zbroju bridova svih lica, što je jednako dvostrukom broju bridova.

Primjer

Poliedar s 5 tetraedarskih i 4 heksaedrijska kuta. Odredimo broj bridova.

Analogno prethodnom primjeru, drugo svojstvo kaže da je zbroj bridova svih ploha jednak dvostrukom broju bridova. Broj bridova dobiven je umnoškom 5 puta 4 i 4 puta 6, jer su to 5 tetraedarskih i 4 heksaedrična kuta. Tako:

Udubljeni (nekonveksni) poliedri

Poliedar je nekonveksan ili konkavan kada uzmemo dvije točke na različitim licima i ravnoj r koji sadrži ove točke nije sve sadržano u poliedru.

Imajte na umu da ravna crta (u plavoj boji) nije potpuna u poliedru, pa je poliedar (u ružičastoj) konkavan ili nekonveksan.

pravilni poliedri

Kažemo da je poliedar pravilan kada vaša lica su pravilni poligoni međusobno jednaki i s poliedarskim kutovima svejedno.

Pogledajte nekoliko primjera:

Primijetite da su vam sva lica pravilni poligoni. Njegova su lica oblikovana kvadratima, a rubovi su im podudarni, odnosno imaju istu mjeru.

čitatitakođer: Što su pravilni i konveksni poligoni?

Eulerova veza

Također poznat kao Eulerov teorem, rezultat je dokazao Leonhard Euler (1707 - 1783.) i jamči da je u sav zatvoreni konveksni poliedar vrijedi sljedeći odnos:

Platonovi poliedri

Bilo koji poliedar koji zadovoljava sljedeće uvjete naziva se Platonov poliedar:

1. Valjana je Eulerova relacija

2. Sva lica imaju jednak broj bridova

3. Svi poliedarski kutovi imaju jednak broj bridova

Dokazano je da postoji samo pet pravilnih i konveksnih poliedara, odnosno Platonovih poliedra, a to su:

• pravilni tetraedar

tetraedar ima 4 trokutasta lica podudarni i 4 trokutasta kuta kongruentan.

• pravilni heksaedar

heksaedar ima 6 četvrtastih lica podudarni i 8 trokutastih kutova kongruentan.

• pravilni oktaedar

oktaedar ima 8 trokutastih lica podudarni i 6 tetraedarskih kutova kongruentan.

• pravilni dodekaedar

dodekaedar ima 12 peterokutnih lica podudarni i 20 kutovatrokutasti kongruentan.

• pravilni ikosaedar

Ikosaedar ima 20 trokutastih lica podudarni i 12 petougaonih kutova kongruentan.

riješene vježbe

1) (Enem) Izrezan je dragulj u obliku konveksnog poliedra s 32 lica, od kojih je 20 heksaedra, a ostali su peterokutni. Ovaj dragulj bit će dar dami koja slavi rođendan, navršivši doba čiji je broj broj vrhova ovog poliedra. Ova dama dovršava:

a) 90 godina

b) star 72 godine

c) stara 60 godina

d) 56 godina

e) 52 godine

Riješenje:

Daje svojstvo 1 konveksnih poliedra znamo da:

Kako sada znamo broj bridova to je broj lica, možemo se poslužiti Eulerovom relacijom.

Kako je dob koju navršavaš jednaka broju vrhova, to je 60 godina. Alternativa c.

2) (PUC-SP) Koliko bridova ima konveksni poliedar s trokutastim licima gdje je broj vrhova tri petine broja lica?

a) 60

b) 30

c) 25

d) 20

e) 15

Riješenje:

Iz svojstava konveksnog poliedra i izjave o vježbi imamo:

Zamjenjujući ove vrijednosti u Eulerovoj relaciji, imamo sljedeće:

Organiziranjem prethodne jednadžbe i rješavanjem jednadžbe u F slijedi da:

Zamjenjujući vrijednost broja lica pronađenih u jednadžbi bridova, imat ćemo:

Alternativa b

napisao Robson Luiz
Učitelj matematike