razumijevanje setovi je glavna osnova za proučavanje algebra i pojmovi od velike važnosti u matematici, kao što su funkcije i nejednakosti. Oznaka koju koristimo za skupove uvijek je veliko slovo naše abecede (npr. Skup A ili skup B).
U smislu prikaz skupova, to može učiniti vennov dijagram, jednostavnim opisivanjem karakteristika njegovih elemenata, nabrajanjem elemenata ili opisivanjem njihovih svojstava. Kada radite s problemima koji uključuju skupove, postoje situacije koje zahtijevaju izvedbu operacije između skupova, biti unija, presjek i razlika. Hoćemo li sve ovo detaljno proučiti?
Vidi i ti: Numerički izrazi - naučite ih rješavati!
Označavanje i prikaz skupova
Za predstavljanje skupa uvijek koristimo a veliko slovo abecede, a elementi su uvijek između tipke a odvojeni su zarezom. Za predstavljanje skupa parnih brojeva većih od 1 i manjih od 20, na primjer, koristimo sljedeći zapis: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Oblici predstavljanja skupova
zastupanje popisivanjem: možemo nabrojati njegove elemente, odnosno napraviti popis, uvijek između zagrada. Pogledajte primjer:
A = {1,5,9,12,14,20}
opisujući značajke: možemo jednostavno opisati karakteristiku skupa. Na primjer, neka je X skup, imamo da je X = {x pozitivan broj višekratnik 5}; Y: skup je mjeseci u godini.
Vennov dijagram: skupovi se također mogu predstaviti u obliku dijagrama, poznatog kao vennov dijagram, što je učinkovitiji prikaz za izvođenje operacija.
Primjer:
S obzirom na skup A = {1,2,3,4,5}, možemo ga predstaviti u sljedećem Vennovom dijagramu:
Elementi skupa i članskog odnosa
S obzirom na bilo koji element, možemo reći da taj element pripada na skup odn ne pripada tom skupu. Da bismo brže predstavili ovaj odnos članstva, koristimo simbole
(čitati kao pripadnost) i ∉ (čitati kao pripadnik). Na primjer, neka je P skup od brojevi parova, možemo reći da 7 ∉ P i da 12 P.
Jednakost skupova
Usporedba skupova je neizbježna, pa možemo reći da su dva skupa jednaka ili ne, provjeravajući svaki njegov element. Neka su A = {0,1,3,4,8} i B = {8,4,3,1,0}, čak i ako su elementi različitim redoslijedom, možemo reći da su skupovi A i B jednaki: A = B.
Odnos inkluzije
Usporedbom dva skupa možemo naići na nekoliko odnosa, a jedan od njih je odnos inkluzije. Za ovu vezu moramo znati neke simbole:
⊃ → sadrži ⊂→ je sadržan
⊅ → ne sadrži ⊄→nije sadržan
Savjet: Otvorna strana simbola uvijek će biti okrenuta prema većem skupu. |
Kada svi elementi skupa A također pripadaju skupu B, kažemo da je A ⊂ B ili da je A sadržano u B. Na primjer, A = {1,2,3} i B = {1,2,3,4,5,6}. Također je moguće izvršiti predstavljanje pomoću vennov dijagram, to bi izgledalo ovako:
A sadrži B:
A ⊂ B
Podskupovi
Kad odnos inkluzije, odnosno skup A sadržan je u skupu B, možemo reći da je A podskup B. Podskup ostaje skup, a set može imati više podskupova, izgrađena od elemenata koji joj pripadaju.
Na primjer: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} ima kao podskup skupove B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1}, pa čak i skup A {1,2,3,4,5,6,7,8}, odnosno A je podskup samog sebe.
unitarni set
Kao što samo ime sugerira, to je taj skup ima samo jedan element, poput skupa D: {1} prikazanog ranije. S obzirom na skup B: {1,2,3}, imamo podskupove {1}, {2} i {3}, koji su svi skupovi jedinica.
PAŽNJA: Skup E: {0} također je jedinstveni skup, jer ima jedan element, "0", i nije prazan skup.
Pročitajte i vi: Skup cijelih brojeva - elementi i karakteristike
prazan set
Uz još sugestivnije ime, prazni skup nema elemente i podskup je bilo kojeg skupa. Za predstavljanje praznog skupa postoje dva moguća prikaza, to su V: {} ili simbol Ø.
Kompleti dijelova
Kao skupove dijelova znamo sve moguće podskupove određenog skupa. Neka A: {1,2,3,4}, možemo navesti sve podskupine ovog skupa A počevši od skupova koji nemaju elemente (prazne), a zatim one koji imaju jedan, dva, tri i četiri elementa, odnosno.
prazan set: { };
Setovi jedinica: {1}; {2};{3}; {4}.
Kompleti s dva elementa: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
skupovi s tri elementa: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Set s četiri elementa: {1,2,3,4}.
Stoga skup dijelova A možemo opisati na ovaj način:
P: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}
Da bismo saznali na koliko dijelova je moguće podijeliti skup, koristimo formulu:
n [P (A)] = 2Ne
Broj dijelova A izračunava se pomoću a potencija baza 2 podignuta na Ne, na što Ne je broj elemenata u skupu.
Razmotrimo skup A: {1,2,3,4}, koji ima četiri elementa. Ukupan broj mogućih podskupova ovog skupa je 24 =16.
Pročitajte i vi: Koji je skup iracionalnih brojeva?
Konačni i beskonačni skup
Kada radimo sa skupovima, pronalazimo skupove koji jesu ograničeno (konačno) i oni koji jesu neograničeno (beskonačno). Skup od parni ili neparni brojevina primjer, beskonačno je i, da bismo ga predstavili, opisujemo neke od njegovih elemenata u nizu, tako da je moguće predvidjeti koji će biti sljedeći elementi, a mi stavljamo elipse u Konačno.
I: {1,3,5,7,9,11 ...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
U konačnom skupu, međutim, ne stavljamo elipse na kraj, jer ima definirani početak i kraj.
O: {1,2,3,4}.
svemir postavljen
O svemir postavljen, označeno sa U, definira se kao skup koji čine svi elementi koji se moraju uzeti u obzir unutar problema. Svaki element pripada skupu svemira i svaki skup je sadržan u skupu svemira.
Operacije sa skupovima
Operacije sa skupovima su: unija, presjek i razlika.
Sjecište skupova
Do presijecanja dolazi kada elementi istovremeno pripadaju jednom ili više skupova. Kada pišemo A∩B, tražimo elemente koji pripadaju i skupu A i skupu B.
Primjer:
Uzmimo u obzir A = {1,2,3,4,5,6} i B = {2,4,6,7,8}, elementi koji pripadaju i skupu A i skupu B su: A∩B = {2, 4,6}. Prikaz ove operacije vrši se na sljedeći način:
A∩B
Kad skupovi nemaju zajedničkih elemenata, poznati su kao disjontni skupovi.
A∩B = Ø
razlika između skupova
izračunati razlika između dva skupa je traženje elemenata koji pripadaju samo jednom od dva skupa. Na primjer, A - B kao odgovor ima skup sastavljen od elemenata koji pripadaju skupu A, a ne pripadaju skupu B.
Primjer: A: {1,2,3,4,5,6} i B: {2,4,6,7,8}. Imajte na umu da je A ∩ B = {2,4,6}, pa imamo sljedeće:
a) A - B = {1,3,5}
b) B - A = {7,8}
Jedinstvo
Unija dva ili više skupova je pridruživanje vašim uvjetima. Ako postoje elementi koji se ponavljaju u oba skupa, oni se zapisuju samo jednom. Na primjer: A = {1,2,3,4,5} i B = {4,5,6,7,10,14}. Za predstavljanje unije koristimo simbol (glasi: Udruženje s B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Da biste saznali više o tim operacijama i provjerili nekoliko riješenih vježbi, pročitajte: Operacije sa skupovima.
Morganovi zakoni
Neka su A i B dva skupa, a U skup svemira, dva su svojstva koja daju Morganovi zakoni, i to:
(A U B)ç = Aç ∩Bç
(A ∩ B)ç = Aç U Bç
Primjer:
S obzirom na skupove:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
O: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Provjerimo da (A U B)ç = Aç ∩Bç. Dakle, moramo:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Stoga, (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
Da bismo provjerili istinitost jednakosti, analizirajmo operaciju Aç ∩Bç:
THEç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Zatim, THEç ∩Bç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)ç = Aç ∩Bç
riješene vježbe
01) Razmotrimo U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} i B: {4,5,6, 7,8,9}. Pokažite da (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
Rješenje:
1. korak: pronađi (A ∩ B)ç. Za to imamo A ∩ B = {4,5,6}, dakle (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
2. korak: Pronađiç U Bç. THEç: {7,8,9,10} i Bç: {1,2,3,10}, dakle Aç U Bç = {1,2,3,7,8,9,19}.
Pokazuje se da (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
02) Znajući da je A skup parnih brojeva od 1 do 20, koliki je ukupan broj podskupova koje možemo sagraditi od elemenata tog skupa?
Rješenje:
Neka je P opisani skup, imamo taj P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Stoga je broj elemenata P 10.
Prema teoriji skupova dijelova, broj mogućih podskupova P iznosi:
210=1024
Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
