Što je permutacija?

Permutacija jedan je od predmeta o kojem se raspravlja u disciplini kombinatorna analiza u matematici. Imajući u ruci bilo koju poredanu sekvencu s „n“ brojem različitih elemenata, bilo koja druga sekvenca koju čine isti „n“ poredani elementi naziva se permutacija.

Dakle, možemo reći da ako je A permutacija B, tada su A i B sastavljeni od istih elemenata, ali različito poredanih.

Odakle dolaze permutacije?

Permutacije su izolirani slučajevi Jednostavni aranžmani. To su poredane grupiranja skupa A elemenata, tako da grupe imaju manje ili jednak broj elemenata od skupa A.

Skup A = {X, Y, Z}, {X, Y} i {Y, X} je a jednostavan aranžman elemenata iz A uzetih 2 do 2. Broj elemenata u A predstavljen je slovom "n". O broj narudžbe, ili broj razreda, je "k". Ovaj broj je broj elemenata u svakom jednostavnom nizu (u slučaju primjera ovaj broj je 2).

Popis sa svim jednostavnim rasporedima tri elementa A uzeta od 3 do 3 je sljedeći:

XYZ, XZY, ZXY, ZYX, YZX i YXZ

Ovaj je popis samo poseban slučaj aranžmana koji dobivaju naziv permutacije.

Izračun jednostavnih aranžmana

Broj jednostavnih rasporeda skupa A, koji ima Ne uzeti elementi k The Oh, može se izračunati prema sljedećoj formuli:

THE_{ne, ok} = Ne!
(n - k)!

Definicija permutacije

Neka je A skup sa Ne različiti elementi. Vas jednostavni aranžmani od ovih elemenata uzetih n do n se nazivaju jednostavne permutacije od A. Dakle, da bi to bila permutacija, potrebno je da je redni broj k biti jednak broju Ne elemenata A. Iz toga proizlaze sljedeći izračuni:

Uzimajući formulu koja se koristi za jednostavne nizove i redni broj k = n, imat ćemo:

To je formula koja se koristi za izračunavanje broja permutacija elemenata skupa A, obično označenih s P_Ne. Uskoro:

Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)

Str_Ne = A_{ne ne} = n!

Str_Ne = n!

Primjer

Izračunajte broj permutacija slova riječi LJUBAV.

Riješenje:

Imajte na umu da riječ LJUBAV ima 4 različita elementa. Za izračunavanje broja permutacija ove riječi upotrijebit ćemo gornju formulu:

Str_Ne = n!

Str₄ = 4!

Str₄ = 4·3·2·1

Str₄ = 24

Stoga je moguće oblikovati 24 različite permutacije slova riječi LJUBAV. Također se nazivaju i permutacije riječi anagrami.

Permutacije s ponovljenim elementima

Bilo koji skup može imati ponovljene elemente. Na permutacije taj bi skup trebao razmotriti ponavljanje tih elemenata, jer redoslijed kojim se pojavljuju nije važan, za razliku od redoslijeda ostalih elemenata skupa. Ako promijenimo samo dva "A" mjesta u riječi AMAR, dobit ćemo istu riječ. Slične riječi nisu permutacije, stoga se ovo ponavljanje mora oduzeti u formuli za permutacije.

Za oduzimanje svih mogućih ponavljanja elemenata u jednom permutacija s ponovljenim elementima, moramo učiniti sljedeće:

Neka je A skup sa Ne elementi, od kojih k elementi se ponavljaju. Formula za izračunavanje permutacija A je:

Str_Ne^k = Ne!
k!

Ako je postavljeno A, sa Ne elemente, posjedovati k ponavljanja elementa i j ponavljanja drugog, izračun će se dogoditi kako slijedi:

Str_Ne^haha =  Ne!
k! · j!

Ako je skup A, sa Ne elementi, ima k ponavljanja elementa, j ponavljanja drugog,..., m ponavljanja drugog, formula ima sljedeći oblik:

Str_Ne^{k, j,..., m} =  Ne!
k! · j! ·... · M!

Primjer

Izračunaj broj anagrama riječi ANTONIA.

Riješenje:

Da biste riješili primjer, samo izračunajte permutacije s ponovljenim elementima riječi ANTONIJA. Slovo A i slovo N ponavljaju se 2 puta. Gledati:

Str₇^2,2 =  7!
2!·2!

Str₇^2,2 = 7·6·5·4·3·2·1
2·1·2·1

Str₇^2,2 = 5040
4

Str₇^2,2 = 1260

Napisao Luiz Paulo Moreira
Diplomirao matematiku