Operacije s vektorima i geometrijskim prikazima

Za razliku od geometrijskih figura koje je on oblikovao, Postići nema definiciju. To znači da je u Geometriji točka nedefinirani objekt koji se koristi u definiranju drugih objekata. Na primjer, crte su skupovi točaka. Iako izgledaju dobro definirane, linije također nemaju definiciju, jer se bilo koji skup koji sadrži dvije ili više točaka smatra ravnim.

S druge strane, u Analitičkoj geometriji, točka se uzima kao mjesto. Bilo koje mjesto može biti predstavljeno točkom, a osim toga, „adresa“ te točke daje se pomoću koordinata.

Međutim, u analitičkoj geometriji točke mogu označavati samo mjesta. Ostali objekti potrebni su za označavanje putanje, smjera, smjera i intenziteta. U slučaju ove posljednje tri, objekt koji je odabran da ih predstavlja u kartezijanskoj ravni je vektor.

→ Što je vektor?

Vektori, dakle, jesu objekti koji ukazuju na smjer, smisao i intenzitet. Obično su predstavljeni strelicama koje počinju od ishodišta, a koriste se koordinate njihove posljednje točke.

Na gornjoj slici vektori su predstavljeni na ovaj način, odnosno strelice čije koordinate odgovaraju njihovoj konačnoj točki. Vektor u ima koordinate (2,2), a vektor v ima koordinate (4,2). Također, strelica služi za označavanje smjera i smjera, a njegova veličina pokazuje intenzitet.

→ Množenje vektora brojem

S obzirom na vektor v = (a, b), umnožak stvarnog broja k s v daje se izrazom:

k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)

Drugim riječima, da biste stvarni broj pomnožili s vektorom, morate pomnožiti stvarni broj sa svakom od njegovih koordinata.

Geometrijski, množenjem vektora sa stvarnim brojem linearno se povećava veličina vektora:

Imajte na umu da u gornjem primjeru vektor u ima koordinate (2.2), a vektor u · k ima koordinate (4.4). Rješavajući jednadžbu (4.4) = k (2.2), možemo zaključiti da je k = 2.

→ Dodavanje vektora

S obzirom na dva vektora u = (a, b) i v = (c, d), zbroj između njih dobit će se izrazom:

u + v = (a + c, b + d)

Drugim riječima, samo zbrojite odgovarajuće koordinate svakog vektora. Ova se operacija može proširiti zbrojem 3 ili više vektora s 3 ili više dimenzija.

Geometrijski, počevši od krajnje točke vektora u, povlači se vektor v 'paralelno s vektorom v. Polazeći od vektora v, povlači se vektor u 'paralelno s vektorom u. Ova četiri vektora tvore paralelogram. Vektor u + v je sljedeća dijagonala ovog paralelograma:

Da biste oduzeli vektore, uzmite u obzir oduzimanje kao zbroj jednog i suprotnog vektora. Na primjer, da biste oduzeli vektor v od vektora u, napišite: u - v = u + (-v). -V vektor je v vektor, ali s obrnutim predznacima koordinata.

Pomno gledajući, operacije "množenje vektora brojem" i "dodavanje vektora" koristiti operacije množenja i zbrajanja na stvarnim brojevima, ali na svakoj komponenti vektor. Stoga za vektore vrijede sva svojstva zbrajanja i množenja realnih brojeva, i to:

S obzirom na vektore u, v i w i stvarne brojeve k i l,

i) (u + v) + w = ​​u + (v + w)

ii) u + v = v + u

iii) postoji vektor 0 = (0.0) takav da je v + 0 = v

iv) Postoji vektor -v takav da je v + (-v) = 0

v) k (u + v) = ku + kv

vi) (k + l) v = kv + lv

vii) kl (v) = k (lv)

viii) 1v = v

→ Standard vektora

Norma vektora ekvivalent je veličini realnog broja, odnosno udaljenosti između vektora i točke (0,0) ili, ovisno o referentnom okviru, duljine vektora.

Norma vektora v = (a, b) označava se sa || v || a može se izračunati pomoću izraza:

|| v || = √ (a² + b²)

→ Interni proizvod

Unutarnji proizvod usporediv je s proizvodom između vektora. Imajte na umu da je gore spomenuti proizvod umnožak između vektora i realnog broja. Sada je predmetni "proizvod" između dva vektora. Međutim, ne treba reći "proizvod između dva vektora", već "unutarnji proizvod između dva vektora". Unutarnji produkt između vektora v = (a, b) i u = (c, d) označen je sa a može se izračunati na sljedeći način:

= a · c + b · d

Također je uobičajeno koristiti sljedeće oznake:

=

Imajte na umu da pomoću norme vektora v = (a, b) možemo povezati normu i točkasti proizvod.

|| v || = √ (a² + b²) = √ (a · a + b · b) = √ ()

Napisao Luiz Paulo Moreira
Diplomirao matematiku

Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-vetores-representacoes-geometricas.htm