O pravokutni trokut dobiva ovo ime jer jedan od njegovih kutova ima mjeru od 90º, odnosno to je pravi kut. Budući da je jedan od najproučenijih poligona u Hrvatskoj geometrija ravnine, bilo je moguće vidjeti neke veze između kutova i također između stranica ove slike.
O Pitagorin poučak, na primjer, razvijen je nakon spoznaje da postoji veza između mjerenja stranica trokuta. Dakle, poznavajući mjerenja dviju stranica trokuta, moguće je izračunati vrijednost treće stranice. Pitagorin teorem kaže da je zbroj kvadrata nogu uvijek jednak kvadratu hipotenuze.
Uz Pitagorin teorem, još jedno važno područje razvijeno proučavanjem ovog trokuta bilo je i trigonometrija, u kojem se razvijaju omjeri stranica trokuta, poznati kao sinus, kosinus i tangenta. Kroz ove razloge uočeno je da postoji udio između mjerenja stranica pravokutnih trokuta koji imaju jednake kutove.
Pročitajte i vi: Koje su izvanredne točke trokuta?
Značajke pravokutnog trokuta
Pravokutni trokut je a
poligon koji ima tri stranicei tri kuta, a jedan od ovih kutova je ravan, odnosno ima 90º. Druga su dva kuta oštra, odnosno manja od 90 °. Najdulja stranica, koja je uvijek nasuprot kutu od 90 °, poznata je kao hipotenuza, a ostale dvije su pozvane pekare.Pravokutni trokut čuva sva poznata svojstva zajedničkog trokuta, kao što je činjenica da The zbroj unutarnjih kutova biti jednak 180º. Kako je zbroj uvijek 180º, a jedan od njegovih kutova već ima 90º, možemo reći da su druga dva kuta uvijek komplementarna, odnosno njihov zbroj također je jednak 90º.
a i b → dojke
c → hipotenuza
Opseg pravokutnog trokuta
Opseg bilo kojeg poligona je duljina zbroja svih njegovih stranica. Dakle, da biste izračunali opseg pravokutnog trokuta, samo dodajte njegove stranice.
P = a + b + c
područje pravokutnog trokuta
THE područje trokuta pravokutnik, kao i a trokut bilo koji, je polovica proizvoda između baze i visine. Ono što je posebno kod pravokutnog trokuta jest to što mu se jedna kateta podudara s visinom, jer su međusobno okomite, pa za izračunavanje površine množimo noge i rezultat dijelimo s dva.
Primjer:
Izračunajte opseg i površinu pravokutnog trokuta dolje znajući da su njegove stranice date u centimetrima.
P = 8 + 15 + 17
P = 40 cm
Sad izračunajmo površinu:
Pogledajte i: Izračunavanje površine trokuta pomoću kutova
Pitagorin poučak
Najpoznatiji teorem u matematici je, bez sumnje, Pitagorin teorem. Iz ovog je teorema bilo moguće vidjeti da su stranice pravokutnog trokuta povezane na sljedeći način: s obzirom na bilo koji pravokutni trokut, zbroj kvadrata nogu jednak je hipotenuzi na kvadrat.
a² + b² = c²
a i b → dojke
c → hipotenuza
Iz ovog je teorema moguće pronaći vrijednost obje strane pravokutnog trokuta, sve dok su poznate druge dvije.
Primjer:
Kolika je vrijednost hipotenuze pravokutnog trokuta dolje znajući da su njezine mjere dane u centimetrima?
Primjenjujući Pitagorin teorem, moramo:
6² + 8² = x²
36 + 64 = x²
100 = x²
x² = 100
x = √100
x = 10 cm
Da biste saznali više o ovoj važnoj vezi, pročitajte tekst: TPitagorin eorem.
Trigonometrija u pravokutnom trokutu
Naziv trigonometrija već se odnosi na svoj predmet proučavanja:
- tri → tri;
- gono → kut;
- metrika → metrika ili mjera.
Dakle, trigonometrija je područje matematike koje proučava odnos između mjerenja kutova trokuta i ovdje ćemo se držati pravokutnog trokuta. Trigonometrija proučava omjer stranica trokuta u skladu s njegovim kut. Ovime je bilo moguće razviti važne koncepte koji su razlozi sinus, kosinus i tangenta. Vrijedno je spomenuti da su se drugi trigonometrijski razlozi razvili produbljivanjem proučavanja trigonometrije u trigonometrijskom krugu.
Prije razumijevanja svakog od ovih omjera važno je razumjeti što je suprotna stranica, a što susjedna stranica pod kutom trokuta.
Kao što smo vidjeli, hipotenuza je stranica predstavljena segmentom AB, jer je uvijek najduža stranica trokuta i ujedno strana okrenuta kutu 90º. Ostale su strane poznate kao noge. Ovisno o kutu koji uzimamo za referencu, stranica može biti suprotna ili susjedna.
Peccary je poznat kao suprotnost kada je okrenut kutu. Na primjer, stranica nasuprot kutu ꞵ je stranica AC; s druge strane, strana koja je suprotna kutnoj strani je strana BC.
O peccary je poznat kao susjedni kad on tvori kut u blizini hipotenuze. Imajte na umu da je kut ꞵ između stranice BC i AB. Budući da je AB hipotenuza pravokutnog trokuta, tada je AB krak uz kut ꞵ. Koristeći se istim obrazloženjem, moguće je vidjeti da je lado AC je susjedna stranica kuta ɑ.
Razumijevanjem svake stranice trokuta moguće je razumjeti trigonometrijski omjeri.
Da bismo primijenili trigonometrijske omjere, moramo znati izvanredne kutove, odnosno kutove od 30º, 45º i 60º. Većina problema s ispitnim i prijamnim ispitima povezana je s tim kutovima, pa je stoga potrebno znati vrijednosti razloga za svaki od njih.
Pogledajte tablicu s vrijednostima sinusa, kosinusa i tangente za značajne kutove:
Poznavajući vrijednost trigonometrijskih omjera trokuta pomoću stranice i kuta, iz trigonometrije je moguće pronaći sve stranice pravokutnog trokuta.
Primjer:
Pronađite vrijednost x.
Da bismo pronašli vrijednost x, pogledajmo kut koji je dan. Imajte na umu da je susjedna strani sa koje nam je mjera poznata, odnosno da je AC susjedna kutu od 30 °. Zatim ćemo primijeniti omjer tangenti koji povezuje susjednu stranicu i hipotenuzu. Također, gledajući tablicu, znamo da je kosinus od 30. jednak √3 / 2.
Također pristupite: 4 najčešće pogreške u osnovnoj trigonometriji
Riješene vježbe
Pitanje 1 - (IFG) Teodolit je precizni instrument za mjerenje vodoravnih i okomitih kutova, koji se koristi u građevinskim radovima. Angažirana je tvrtka za oslikavanje četverokatnice. Da bi saznala ukupnu površinu koju treba obojiti, mora pronaći visinu zgrade. Jedna osoba postavlja instrument na visinu od 1,65 metara, pronalazeći kut od 30 °, kao što je prikazano na slici. Pod pretpostavkom da je teodolit udaljen 13√3 metra od zgrade, kolika je visina, u metrima, zgrade koju treba slikati?
A) 11,65
B) 12,65
C) 13,65
D) 14,65
E) 15,65
Razlučivost
Alternativa D.
Budući da želimo pronaći stranicu nasuprot kutu od 30 °, znajući da je udaljenost 13√3, što je udaljenost od teodolita do zgrade, strana uz kut od 30 °, pa ćemo upotrijebiti tangentu:
Sada ćemo dodati 13 + 1,65 = 14,65 metara visine.
Pitanje 2 - Da bi izvršio sadnju na svom posjedu, poljoprivrednik je podijelio svoje obradivo zemljište u pravokutnom obliku na pola, na njegovu dijagonalu, tvoreći dva pravokutna trokuta. U ovoj će podjeli polovica zemljišta biti ograđena žicom, koristeći 4 žice. Znajući da su dimenzije zemljišta široke 20 i duge 21 metar, koliko će se potrošiti na žicu?
A) 29 metara
B) 70 metara
C) 140 metara
D) 210 metara
E) 280 metara
Razlučivost
Alternativa E.
Prvo pronađimo dijagonalu terena, koja je hipotenuza pravokutnog trokuta. Da bismo to olakšali, napravit ćemo sliku situacije:
Dakle, moramo:
d² = 20² + 21²
d² = 400 + 441
d² = 841
d = √841
d = 29
Da bismo zaobišli, moramo 29 + 20 + 21 = 70 metara, koliko će biti 4 kruga, 70 · 4 = 280 metara.
Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-retangulo.htm