Teorem polinomske dekompozicije

Temeljni teorem algebre za polinomne jednadžbe jamči da "polinom svakog stupnja n≥ 1 ima barem jedan složeni korijen ". Dokaz ovog teorema iznio je matematičar Friedrich Gauss 1799. godine. Iz nje možemo pokazati teorem dekompozicije polinoma, što jamči da se bilo koji polinom može rastaviti na čimbenike prvog stupnja. Uzmi sljedeći polinom p (x) razreda n ≥ 1 i_Ne ≠ 0:

p (x) = a_Ne x^Ne + the_n-1 x^n-1 +… +₁x¹ + the₀

Kroz temeljni teorem algebre možemo konstatirati da ovaj polinom ima barem jedan složeni korijen. u₁, takav da p (u₁) = 0. O D'Alembertov teorem prema podjela polinoma navodi da ako p (u₁) = 0, zatim p (x) je djeljivo sa (x - u₁), što rezultira količnikom što₁(x), što je stupanj polinom (n - 1), što nas navodi da kažemo:

p (x) = (x - u₁). što₁(x)

Iz ove jednadžbe potrebno je istaknuti dvije mogućnosti:

Ako je u = 1 i što₁(x) je polinom stupnja (n - 1), onda što₁(x) ima diplomu 0. Kao dominantan koeficijent p (x) é The_Ne, što₁(x) je stalni polinom tipa što₁(x)=The_Ne. Tako imamo:

p (x) = (x - u₁). što₁(x)
(x) = (x - u.)₁). The_Ne
p (x) = a_Ne . (x - u₁)

Ali ako u ≥ 2, zatim polinom što₁ ima diplomu n - 1 ≥ 1 i vrijedi temeljni teorem algebre. Možemo reći da je polinom što₁ ima barem jedan korijen Ne₂, što nas navodi da to kažemo što₁ može se zapisati kao:

što₁(x) = (x - u.)₂). što₂(x)

Ali kako p (x) = (x - u₁). što₁(x), možemo ga prepisati kao:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). što₂(x)

Uzastopno ponavljajući ovaj postupak, imat ćemo:

p (x) = a_Ne. (x - u₁). (x - u₂)... (x - u_Ne)

Dakle, možemo zaključiti da je svaka polinomska ili polinomna jednadžba p (x) = 0 razreda n≥ 1 točno posjedovati Ne složeni korijeni.​

Primjer: Biti p (x) polinom stupnja 5, takav da su njegovi korijeni – 1, 2, 3, – 2 i 4. Napišite ovaj polinom razložen na čimbenike 1. stupnja, uzimajući u obzir dominantni koeficijent jednak 1. Mora biti napisano u proširenom obliku:

ako – 1, 2, 3, – 2 i 4 su korijeni polinoma, pa je umnožak razlika od x za svaki od ovih korijena rezultira p (x):

p (x) = a_Ne. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)

Ako je dominantni koeficijent The_Ne = 1, imamo:

p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x⁴ - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
p (x) = x⁵ - 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

Napisala Amanda Gonçalves
Diplomirao matematiku

Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm