THE zapovjedništvo obično se koristi za organiziranje tabličnih podataka radi olakšavanja rješavanja problema. Podaci o matrici, bez obzira jesu li numerički ili ne, složeni su uredno u retke i stupce.
Skup matrica opremljenih operacijama dodatak, oduzimanje i množenje a značajke kao neutralni i inverzni element tvore matematičku strukturu koja omogućuje njegovu primjenu u raznim poljima ovog velikog područja znanja.
Vidi i ti: Povezanost matričnog i linearnog sustava
Matrični prikaz
Prije početka studija o matricama potrebno je utvrditi neke zapise u vezi s njihovim prikazima. Na matrice su uvijek predstavljene velikim slovima. (A, B, C…), koji su popraćeni indeksima, u kojima su prvi broj označava broj redaka, a drugi broj stupaca.
THE broj redaka (vodoravni redovi) i stupaca (vertikalni redovi) matrice određuje njezin narudžba. Matrica A ima red m po n. Pozivaju se podaci sadržani u nizu elementi i organizirani su u zagradama, uglastim zagradama ili dvije okomite trake, pogledajte primjere:
Matrica A ima dva retka i tri stupca, pa je njezin redoslijed dva po tri → A2x3.
Matrica B ima jedan redak i četiri stupca, pa je redoslijed jedan po četiri, tako se naziva linijska matrica → B1x4.
Matrica C ima tri retka i jedan stupac, i tako se naziva matrica stupca a redoslijed mu je tri po jedan → C3x1.
Elemente niza možemo generički predstaviti, odnosno taj element možemo zapisati pomoću matematičkog prikaza. Ogenerički će element biti predstavljen malim slovima (a, b, c…), i, kao i u prikazu nizova, također ima indeks koji pokazuje njegovo mjesto. Prvi broj označava redak u kojem je element, a drugi broj stupac u kojem se nalazi.
Razmotrimo sljedeću matricu A, navest ćemo njene elemente.
Promatrajući prvi element koji se nalazi u prvom redu i prvom stupcu, odnosno u prvom redu i prvom stupcu, imamo broj 4. Kako bismo olakšali pisanje, označit ćemo ga sa:
The11 → redak jedan element, stupac jedan
Dakle, imamo sljedeće elemente matrice A2x3:
The11 = 4
The12 =16
The13 = 25
The21 = 81
The22 = 100
The23 = 9
Općenito, možemo zapisati niz kao funkciju njegovih generičkih elemenata, ovo je generička matrica.
Matricu od m retka i n stupaca predstavlja:
Primjer
Odrediti matricu A = [ai J ]2x2, koja ima sljedeći zakon o osposobljavanjui J = j2 - 2i. Iz podataka u izjavi imamo da je matrica A reda dva po dva, odnosno ima dva retka i dva stupca, dakle:
Uz to je dan i zakon o formiranju matrice, odnosno svaki je element zadovoljan odnosom premai J = j2 - 2i. Zamjenjujući vrijednosti i i j u formuli, imamo:
The11 = (1)2 - 2(1) = -1
The12 = (2)2 - 2(1) = 2
The21 = (1)2 - 2(2) = -3
The22 = (2)2 - 2(2) = 0
Stoga je matrica A:
Vrste polja
Neke matrice zaslužuju posebnu pažnju, pogledajte ih sada vrste nizova s primjerima.
kvadratna matrica
Matrica je kvadratna kada je broj redaka jednak je broju stupaca. Matricu koja ima n redaka i n stupaca predstavljamo pomoću ANe (čitaj: kvadratna matrica reda n).
U kvadratnim matricama imamo dva vrlo važna elementa, dijagonale: glavna i sporedna. Glavnu dijagonalu čine elementi koji imaju jednake indekse, odnosno to je svaki element ai J s i = j. Sekundarnu dijagonalu tvore elementi ai J s i + j = n +1, gdje je n red matrice.
Matrica identiteta
Matrica identiteta je kvadratna matrica koja ima svivaselementi glavne dijagonale jednaki 1 i ostali elementi jednaki 0, njegov zakon o formiranju je:
Ovu matricu označavamo s I, gdje je n redoslijed kvadratne matrice, pogledajte neke primjere:
matrica jedinica
To je kvadratna matrica reda prvog, odnosno ima redak i stupac i, prema tome, samo jedan element.
A = [-1]1x1, B = I1 = (1)1x1 i C = || 5 ||1x1
Ovo su primjeri jediničnih matrica, s naglaskom na matrici B, koja je a matrica identiteta jedinice.
nulta matrica
Za niz se kaže da je nula ako su svi njegovi elementi jednaki nuli. Predstavljamo nultu matricu reda m po n po Omxn.
Matrica O je nula reda 4.
suprotna matrica
Razmotrimo dvije matrice jednakog reda: A = [ai J]mxn i B = [bi J]mxn. Te će se matrice zvati suprotno ako i samo ako jei J = -bi J. Tako, odgovarajući elementi moraju biti suprotni brojevi.
Možemo prikazati matricu B = -A.
transponirana matrica
Dvije matrice A = [ai J]mxn i B = [bi J]nxm oni su transponiran ako i samo ako jei J = bji , to jest, dana je matrica A, da bi pronašli njezino transponiranje, samo uzmite linije kao stupce.
Transpozicija matrice A označena je s AT. Pogledajte primjer:
Vidi više: Inverzna matrica: što je to i kako provjeriti
Matrične operacije
Skup matrica ima operacije avrlo dobro definirano sabiranje i množenje, odnosno kad god radimo s dvije ili više matrica, rezultat operacije i dalje pripada skupu matrica. Međutim, što je s operacijom oduzimanja? Ovu operaciju shvaćamo kao inverzni zbrajanje (suprotna matrica), što je također vrlo dobro definirano.
Prije definiranja operacija, shvatimo ideje odgovarajući element i jednakost matrica. Odgovarajući elementi su oni koji zauzimaju isti položaj u različitim matricama, odnosno nalaze se u istom retku i stupcu. Očito nizovi moraju biti istog reda kako bi postojali podudarni elementi. Izgled:
Elementi 14 i -14 odgovarajući su elementi suprotnih matrica A i B, jer zauzimaju isti položaj (isti redak i stupac).
Za dvije će se matrice reći da su jednake onda i samo ako su odgovarajući elementi jednaki. Dakle, s obzirom na matrice A = [ai J]mxn i B = [bi J]mxn, to će biti isto ako i samo akoi J = bi J za bilo koji i j.
Primjer
Znajući da su matrice A i B jednake, odredite vrijednosti x i t.
Budući da su matrice A i B jednake, tada odgovarajući elementi moraju biti jednaki, dakle:
x = -1 i t = 1
Zbrajanje i oduzimanje matrica
Operacije zbrajanje i oduzimanje između matrica prilično su intuitivni, ali prvo mora biti zadovoljen uvjet. Da biste izvršili ove operacije, prvo je potrebno provjeriti je li redoslijedi polja su jednaki.
Jednom kada je ovaj uvjet provjeren, zbrajanje i oduzimanje matrice odvija se dodavanjem ili oduzimanjem odgovarajućih elemenata matrica. Razmotrimo matrice A = [ai J]mxn i B = [bi J]mxn, zatim:
A + B = [ai J + bi J] mxn
A - B = [ai J - Bi J] mxn
Primjer
U nastavku razmotrite matrice A i B, odredite A + B i A - B.
Pročitajte i vi: Operacije s cijelim brojem
Množenje realnog broja matricom
Množenje realnog broja u matrici (poznato i kao množenje matrice) skalarom daje se množenjem svakog elementa matrice skalarom.
Neka je A = [ai J]mxn matricu i t realni broj, pa:
t · A = [t · ai J]mxn
Pogledajte primjer:
Množenje matrica
Množenje matrica nije tako trivijalno kao zbrajanje i oduzimanje matrice. Prije izvođenja množenja mora biti zadovoljen i uvjet koji se odnosi na redoslijed matrica. Razmotrimo matrice Amxn i Bnxr.
Da bi izveo množenje, broj stupaca u prvoj matrici mora biti jednak broju redaka u drugoj. Matrica proizvoda (koja dolazi od množenja) ima redoslijed davan brojem redaka u prvom i brojem stupaca u drugom.
Da bismo izvršili množenje između matrica A i B, moramo svaki redak pomnožiti sa svim stupcima kako slijedi: prvi element od A pomnoži se s prvim elementom B, a zatim se doda drugom elementu A i pomnoži s drugim elementom B, i tako sukcesivno. Pogledajte primjer:
Pročitajte i vi: Laplaceov teorem: znati kako i kada koristiti
riješene vježbe
Pitanje 1 - (U. I. Londrina - PR) Neka su matrice A i B 3 x 4 i p x q, a ako matrica A · B ima red 3 x 5, tada je istina da:
a) p = 5 i q = 5
b) p = 4 i q = 5
c) p = 3 i q = 5
d) p = 3 i q = 4
e) p = 3 i q = 3
Riješenje
Imamo izjavu da:
THE3x4 · Bpxq = C3x5
Iz uvjeta da pomnožimo dvije matrice imamo da proizvod postoji samo ako je broj stupaca u prvom jednak broju redaka u drugom, pa je p = 4. Također znamo da je matrica proizvoda dana brojem redaka u prvom s brojem stupaca u drugom, pa je q = 5.
Prema tome, p = 4 i q = 5.
O: Alternativa b
Pitanje 2 - (Vunesp) Odredite vrijednosti x, y i z na sljedećoj jednakosti, uključujući 2 x 2 realne matrice.
Riješenje
Izvršimo operacije između nizova, a zatim jednakost između njih.
Da bismo odredili vrijednost x, y i z, riješit ćemo linearni sustav. U početku dodamo jednadžbe (1) i (2).
2x - 4 = 0
2x = 4
x = 2
Zamjenjujući vrijednost x pronađenu u jednadžbi (3), imamo:
22 = 2z
2z = 4
z = 2
I na kraju, zamjenjujući vrijednosti x i z pronađene u jednadžbi (1) ili (2), imamo:
x + y - z = 0
2 + y - 2 = 0
y = 0
Prema tome, rješenje problema daje S = {(2, 0, 2)}.
napisao Robson Luiz
Učitelj matematike