Prema operacije sa skupovima oni su sjedinjenje, sjecište i razlika. Rezultat svake od ovih operacija je novi skup. Za označavanje unije između skupova koristimo simbol ∪; za raskrižje, simbol ∩; i za razliku, simbol od oduzimanje\(-\). U slučaju razlike, bitno je pridržavati se redoslijeda kojim će se operacija izvoditi. Drugim riječima, ako su A i B skupovi, tada je razlika između A i B različita od razlike između B i A.
Pročitajte također: Vennov dijagram — geometrijski prikaz skupova i operacija između njih
Sažetak operacija sa skupovima
Operacije sa skupovima su: unija, presjek i razlika.
Unija (ili susret) skupova A i B je skup A ∪ B, formiran od elemenata koji pripadaju A ili pripadaju B.
\(A∪B=\{x; x∈A\ ili\ x∈B\}\)
Sjecište skupova A i B je skup A ∩ B kojeg čine elementi koji pripadaju A i B.
\(A∩B=\{x; x∈A\ i\ x∈B\}\)
Razlika između skupova A i B je skup A – B koji čine elementi koji pripadaju A i ne pripadaju B.
\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
Ako je U (poznat kao svemirski skup) skup koji sadrži sve skupove u danom kontekstu, tada se razlika U – A, s A ⊂ U, naziva komplement od A. Komplement od A čine elementi koji ne pripadaju A i predstavljen je sa
Aw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Video lekcija o operacijama sa skupovima
Koje su tri operacije sa skupovima?
Tri operacije sa setovima su: unija, presjek i razlika.
Unija skupova
Unija (ili susret) skupova A i B je skup A ∪ B (čitaj "Unija B"). Ovaj skup se sastoji od svih elemenata koji pripadaju skupu A ili pripadaju skupu B, tj elementi koji pripadaju barem jednom od skupova.
Predstavljajući elemente od A ∪ B s x, pišemo
\(A∪B=\{x; x∈A\ ili\ x∈B\}\)
Na slici ispod, narančasto područje je postaviti A ∪B.
Čini se teškim? Pogledajmo dva primjera!
Primjer 1:
Što je skup A ∪ B, ako je A = {7, 8} i B = {12, 15}?
Skup A ∪ B čine elementi koji pripadaju A ili pripadaju B. Kako elementi 7 i 8 pripadaju skupu A, onda oba moraju pripadati skupu A ∪ B. Nadalje, kako elementi 12 i 15 pripadaju skupu B, tada oba moraju pripadati skupu A ∪ B.
Stoga,
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
Imajte na umu da svaki od elemenata od A∪B pripada ili skupu A ili skupu B.
Primjer 2:
Razmotrimo skupove A = {2, 5, 9} i B = {1, 9}. Što je skup A ∪ B?
Kako elementi 2, 5 i 9 pripadaju skupu A, onda svi moraju pripadati skupu A∪B. Nadalje, budući da elementi 1 i 9 pripadaju skupu B, onda svi moraju pripadati skupu A ∪ B.
Imajte na umu da smo 9 spomenuli dva puta, jer ovaj element pripada skupu A i skupu B. Rekavši da je “skup A ∪ B formiran od elemenata koji pripadaju A ili pripadaju B” ne isključuje elemente koji istovremeno pripadaju skupovima A i B.
Dakle, u ovom primjeru imamo
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
Imajte na umu da element 9 pišemo samo jednom.
Presjek skupova
Sjecište skupova A i B je skup A ∩ B (čitaj “Sjecište B”). Ovaj skup se sastoji od svih elemenata koji pripadaju skupu A to je pripadaju skupu B. Drugim riječima, A ∩ B sastoji se od zajedničkih elemenata skupova A i B.
Označavajući elemente A ∩ B s x, pišemo
\(A∩B=\{x; x∈A\ i\ x∈B\}\)
Na slici ispod, narančasto područje je postaviti A ∩B.
Riješimo dva primjera o presjeku skupova!
Primjer 1:
Razmotrimo A = {-1, 6, 13} i B = {0, 1, 6, 13}. Što je skup A ∩ B?
Skup A ∩ B čine svi elementi koji pripadaju skupu A to je pripadaju skupu B. Imajte na umu da elementi 6 i 13 pripadaju istovremeno skupovima A i B.
Kao ovo,
A ∩ B={6, 13}
Primjer 2:
Što je presjek između skupova A = {0,4} i \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Imajte na umu da ne postoji zajednički element između skupova A i B. Dakle, sjecište je skup bez elemenata, odnosno prazan skup.
Stoga,
\(\)A ∩ B={ } = ∅
Razlika između skupova
Razlika između skupova A i B je skup A – B (čitaj “razlika između A i B”). Ovaj set se sastoji od svi elementi koji pripadaju skupu A, a ne pripadaju skupu B.
Prikazujući elemente od A – B pomoću x, pišemo
\(A-B=\{x; x∈A\ i\ x∉B\}\)
Na slici ispod, narančasto područje je setA – B.
Pažnja: razlika između skupova A i B nije razlika između skupova B i A, jer B – A čine svi elementi koji pripadaju skupu B, a ne pripadaju skupu A.
Razmotrite dva primjera u nastavku o razlikama između skupova.
Primjer 1:
Ako je A = {-7, 2, 100} i B = {2, 50}, koji je onda skup A – B? Što je sa skupom B – A?
SkupA-B sastoji se od svih elemenata koji pripadaju skupu A to jeNe pripadaju skupu B. Imajte na umu da je 2 jedini element u skupu A koji također pripada skupu B. Dakle, 2 ne pripada skupu A – B.
Stoga,
A – B = {-7, 100}
Nadalje, skup B – A čine svi elementi koji pripadaju skupu B to jeNe pripadaju skupu A. Stoga,
B – A = {50}
Primjer 2:
Koja je razlika između skupa A = {–4, 0} i skupa B = {–3}?
Primijetimo da niti jedan element od A ne pripada B. Dakle, razlika A – B je sam skup A.
\(A - B = \{-4,0\} = A\)
promatranje: Uzmite u obzir da je U (nazvan skup svemira) skup koji sadrži sve druge skupove u danoj situaciji. Kao ovo, razlika U–A, sa A⊂U, je skup koji se naziva komplementaran A i prikazan kao \(PRIJE KRISTA\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Na sljedećoj slici, pravokutnik je skup svemira, a narančasto područje je skup svemira \(PRIJE KRISTA\).
Znati više: Korak po korak kako napraviti podjelu
Riješene vježbe na skupovnim operacijama
Pitanje 1
Razmotrite skupove A = {–12, –5, 3} i B = {–10, 0, 3, 7} i klasificirajte svaku izjavu u nastavku kao T (točno) ili F (netočno).
ja A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
Točan redoslijed, od vrha prema dolje, je
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) Ž-Ž-V
E) P-P-P
Rezolucija
ja lažno.
Element 0 mora pripadati uniji A i B, budući da je 0 ∈ B. Dakle, A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. Pravi.
III. Pravi.
Alternativa B.
pitanje 2
Razmotrite A = {4, 5}, B = {6,7} i C = {7,8}. Tada je skup A ∪ B ∩ C
A) {7}.
B) {8}.
C) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
E) {4, 5, 6, 7, 8}.
Rezolucija
Primijetimo da je A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Prema tome, skup A ∪ B ∩ C je sjecište između A ∪ B = {4, 5, 6, 7} i C = {7,8}. Uskoro,
A ∪ B ∩ C = {7}
Alternativa A.
Izvori
LIMA, Elon L.. Tečaj analize. 7 izd. Rio de Janeiro: IMPA, 1992. v.1.
LIMA, Elon L. et al. Matematička gimnazija. 11. izd. Zbirka za nastavnike matematike. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v.1.
