A navijati To je matematička operacija, baš kao i zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i potenciranje. Na isti način na koji je oduzimanje obratna operacija zbrajanja, a dijeljenje obratna operacija množenja, radijacija je obratna operacija potenciranja. Dakle, za realne pozitivne x i y i cijeli broj n (veći ili jednak 2), ako je x podignut na n jednak y, možemo reći da je n-ti korijen od y jednak x. U matematičkom zapisu: \(x^n=y\desna strelica\sqrt[n]{y}=x\).
Pročitajte također:Potenciranje i radijacija frakcija — kako to učiniti?
Sažetak o rootanju
Rootifikacija je matematička operacija.
Radijacija i potenciranje su inverzne operacije, to jest, za pozitivne x i y, \(x^n=y\desna strelica\sqrt[n]{y}=x\).
Izračunavanje n-tog korijena broja y znači pronalaženje broja x tako da je x podignut na n jednak y.
Čitanje korijena ovisi o indeksu n. Ako je n = 2, to zovemo kvadratni korijen, a ako je n = 3, to zovemo kubni korijen.
U operacijama s radikalima koristimo pojmove s istim indeksom.
Zračenje ima važna svojstva koja olakšavaju njegovo izračunavanje.
Video lekcija o rootanju
Predstavljanje korijena
Za predstavljanje korijena, moramo uzeti u obzir tri uključena elementa: radikand, indeks i korijen. Simbol \(√\) naziva se radikal.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
U ovom primjeru, y je radikal, n je indeks i x je korijen. Čita se "n-ti korijen od y je x". Dok x i y predstavljaju pozitivne realne brojeve, n predstavlja cijeli broj jednak ili veći od 2. Važno je napomenuti da se za n = 2 indeks može izostaviti. Tako npr. \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Radijaciju možemo prikazati pomoću radikala s frakcijskim eksponentom. Formalno, kažemo da je n-ti korijen od \(y^m\) može se napisati kao y podignuto na razlomački eksponent \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Pogledajte primjere:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Razlike između zračenja i potenciranja
Potenciranje i zračenje su inverzne matematičke operacije. To znači da ako \(x^n=y\), onda \(\sqrt[n]{y}=x\). Čini se teškim? Pogledajmo neke primjere.
Ako \(3^2=9\), onda \(\sqrt[2]{9}=3\).
Ako \(2^3=8\), onda \(\sqrt[3]{8}=2\).
Ako \(5^4=625\), onda \(\sqrt[4]{625}=5\).
Kako čitati korijen?
Za čitanje korijena, moramo uzeti u obzir indeks n. Ako je n = 2, zovemo ga kvadratni korijen. Ako je n = 3, to nazivamo kubnim korijenom. Za vrijednosti od n veći, koristimo nazivlje za redne brojeve: četvrti korijen (ako je n = 4), peti korijen (ako je n = 5) i tako dalje. Pogledajte neke primjere:
\(\sqrt[2]{9}\) – kvadratni korijen iz 9.
\(\sqrt[3]{8}\) – kubni korijen iz 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – četvrti korijen od 625.
Kako izračunati korijen broja?
U nastavku ćemo vidjeti kako izračunati korijen pozitivnog realnog broja. Za izračunavanje korijena broja, moramo uzeti u obzir povezanu inverznu operaciju. To jest, ako tražimo n-ti korijen broja y, moramo tražiti broj x takav da je \(x^n=y\).
Ovisno o vrijednosti y (odnosno radikanda), ovaj proces može biti jednostavan ili naporan. Pogledajmo neke primjere kako izračunati korijen broja.
Primjer 1:
Koliki je kvadratni korijen od 144?
rezolucija:
Nazovimo broj koji tražimo x, tj. \(\sqrt{144}=x\). Primijetite da to znači tražiti broj x takav da \(x^2=144\). Testirajmo neke mogućnosti s prirodnim brojevima:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Stoga, \(\sqrt{144}=12\).
Primjer 2:
Što je kubni korijen od 100?
rezolucija:
Nazovimo broj koji tražimo x, tj. \(\sqrt[3]{100}=x\). Ovo znači to \(x^3=100\). Testirajmo neke mogućnosti:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Imajte na umu da tražimo broj koji je između 4 i 5, kao \(4^3=64\) to je \(5^3=125\). Dakle, testirajmo neke mogućnosti s brojevima između 4 i 5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Kao \(4,6^3 \) je broj blizak i manji od 100, možemo reći da je 4,6 aproksimacija kubnog korijena od 100. Stoga, \(\sqrt[3]{100}≈4,6\).
Važno:Kada je korijen racionalan broj, kažemo da je korijen egzaktan; inače, korijen nije točan. U gornjem primjeru određujemo raspon između točnih korijena gdje se nalazi traženi korijen:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Ova je strategija vrlo korisna za izračunavanje aproksimacija korijena.
Operacije s radikalima
U operacijama s radikalima koristimo pojmove s istim indeksom. S obzirom na to, pažljivo pročitajte sljedeće informacije.
→ Zbrajanje i oduzimanje između radikala
Da bismo riješili zbrajanje ili oduzimanje između radikala, moramo izračunati korijen svakog radikala zasebno.
Primjeri:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Važno: Nije moguće raditi s radikalima u operacijama zbrajanja i oduzimanja. Imajte na umu da je npr. operacija \(\sqrt4+\sqrt9\) rezultira različitim brojem \(\sqrt{13}\), čak i ako \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Množenje i dijeljenje radikala
Da bismo riješili množenje ili dijeljenje između radikala, možemo izračunati korijen svakog radikala zasebno, ali također možemo koristiti svojstva radijacije, što ćemo vidjeti u nastavku.
Primjeri:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Koja su svojstva zračenja?
→ Svojstvo 1 zračenja
Ako je y pozitivan broj, tada je n-ti korijen od \(y^n\) je jednako y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Pogledajte primjer:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Ovo se svojstvo naširoko koristi za pojednostavljenje izraza s radikalima.
→ Svojstvo 2 zračenja
N-ti korijen umnoška \(y⋅z\) jednak je umnošku n-tih korijena iz y i z.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Pogledajte primjer:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Važno: Kada računamo korijen velikog broja, to je vrlo korisno rastaviti (rastaviti) radikal na proste brojeve i primijenite svojstva 1 i 2. Pogledajte sljedeći primjer, u kojem želimo izračunati \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Kao ovo,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Svojstvo 3ukorjenjivanja
N-ti korijen kvocijenta \(\frac{y}z\), sa \(z≠0\), jednak je kvocijentu n-tih korijena iz y i z.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Pogledajte primjer:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Svojstvo 4 zračenja
N-ti korijen od y podignut na eksponent m jednak je n-tom korijenu od \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Pogledajte primjer:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Vidi također: Koja su svojstva potenciranja?
Riješene vježbe o zračenju
Pitanje 1
(FGV) Pojednostavljenje \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), dobivate:
A) 0
B) - 23
C) - 43
D) - 63
D) - 83
rezolucija:
Alternativa C.
Napominjemo da korištenjem svojstava zračenja imamo
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Dakle, možemo prepisati izraz iskaza kao
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Stavljanje pojma \(\sqrt3\) dokaza, zaključujemo da
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
pitanje 2
(Cefet) Kojim brojem treba pomnožiti broj 0,75 da kvadratni korijen dobivenog umnoška bude jednak 45?
A) 2700
B) 2800
C) 2900
D) 3000
rezolucija:
Alternativa A.
Traženi broj je x. Dakle, prema priopćenju,
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
Stoga,
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0,75}\)
\(x = 2700\)
