Poznat je kao a racionalni broj svaki broj koji može se predstaviti kao nesvodiva frakcija. Tijekom ljudske povijesti ideja o broju postupno se razvijala u skladu s ljudskim potrebama. Prikaz brojeva u razlomcima, na primjer, rješavao je probleme koji su se rješavali samo s cijeli brojevi.
Racionalni broj može se predstaviti iz razlomka, pa postoje metode za transformiranje cijelih brojeva, decimalni brojevi točne i povremene decimale u razlomcima.
Pročitajte i vi: Operacije s razlomcima - kako riješiti?
Što su racionalni brojevi?
Racionalni brojevi su proširenje skupa cijelih brojeva, zatim su, pored cijelih brojeva, dodani sve razlomke. O postavljen racionalnih brojeva predstavljen je sa:
Ovo što kaže ova prezentacija je da je broj racionalan ako se može predstaviti kao razlomak The oko B, takav da The je cijeli broj i B je cijeli broj koji nije nula. Ali ako želimo racionalnije brojeve definirati manje rigorozno, možemo reći sljedeće:
Racionalni brojevi su svi brojevi koji se mogu predstaviti kao razlomak. |
Upoznajte ovu definiciju:
vas cijeli brojevis, na primjer: -10, 7, 0;
vas točni decimalni brojevi, na primjer: 1,25; 0,1; 3,1415;
na jednostavne periodične desetine, na primjer: 1.424242…;
na složene periodične desetine, na primjer: 1.0288888 ...
Ne su racionalni brojevi:
Na neperiodična desetina, na primjer: 4,1239489201…;
Na korijenjenije točno, na primjer:
;- THE žabajaz kvadrat od negativni brojevi, na primjer:
.
Promatranje: Postojanje neracionalnih brojeva dovodi do pojave drugih skupova, poput iracionalnih brojeva i složeni brojevi.
Prikaz racionalnih brojeva
Razumijevanje da je razlomak a podjela od dva cijela broja, da bude racionalan broj, ovaj broj možete predstaviti kao razlomak. Stoga se svaki gore spomenuti slučaj kao racionalni broj (cijeli brojevi, točni decimali i periodički decimali) može prikazati kao razlomak.
cijeli brojevi
Beskonačne su mogućnosti za predstavljanje cijelog broja kao razlomka, jer razlomak može biti predstavljen u nesvodivom obliku ili ne.
Primjeri:
točne decimale
Da biste pretvorili točan decimalni broj u frakcija, brojimo broj brojeva u njegovom decimalnom dijelu, odnosno nakon decimalne točke. Ako iza zareza stoji broj, napisat ćemo cjelobrojni dio plus decimalni bez zareza preko 10. Ako su u decimalnom dijelu dva broja preko 100, u praksi će iznos brojeva u decimalnom dijelu biti količina nula koje imamo u nazivniku. Pogledajte primjer:
periodična desetina
Pronalaženje frakcijskog prikaza desetine nije uvijek lak zadatak, kako ga mi nazivamo generirajući razlomak. Da bi se olakšao ovaj rad, uočeno je da u jednadžbi pomoću koje smo pronašli generirajuću frakciju postoje zakonitosti koje su omogućile razvoj praktične metode.
Prvo, moramo shvatiti da postoje dvije vrste periodične desetine, jednostavna i složena. Jedan desetina je jednostavna ako u njegovom decimalnom dijelu postoji samo onaj dio koji se ponavlja, odnosno točka. Jedan desetina je složena ako u njegovom decimalnom dijelu postoji neperiodični dio.
Primjer:
9,323232… → jednostavna periodična decimala
Cijeli broj jednak je 9.
Razdoblje je jednako 32.
8,7151515… → složena periodična desetina
Cijeli broj jednak je 8.
Neperiodični decimalni dio jednak je 7.
Razdoblje je jednako 15.
Pogledajte i: Ekvivalentni razlomci - razlomci koji predstavljaju istu količinu
→ 1. slučaj: generiranje razlomka jednostavne periodičke decimale
U prvom slučaju, do pretvoriti jednostavnu periodičnu decimalu u razlomak praktičnom metodom, u brojnik samo napiši cijeli dio plus točka bez zareza. U nazivnik, za svaki element u periodičnom dijelu dodamo 9.
Primjer:
Generirajući razlomak 9.323232…, kao što smo vidjeli, ima razdoblje jednako 32, odnosno dva broja u svom razdoblju, pa je nazivnik 99. Cjelobrojni dio plus periodični dio bez zareza je 932, što je brojnik. Dakle, generirajući udio ove desetine je:
→ 2. slučaj: generiranje razlomka složene periodičke decimale
Povremena kompozitna desetina malo je mukotrpnija. Pronađimo u primjeru generirajući udio desetine na kojem smo radili.
8,7151515… → složena periodična decimala.
Cijeli broj jednak je 8.
Neperiodični decimalni dio jednak je 7.
Decimalni dio razdoblja jednak je 15.
Brojilac će biti oduzimanje 8715 - 87, odnosno razlika između broja koji ide od cijelog dijela do periodičnog dijela s neponavljajućim dijelom desetine.
Brojilac će biti jednak 8715 - 87 = 8628.
Da bismo pronašli nazivnik, analizirajmo decimalni dio. Prvo pogledajmo neperiodični i periodični decimalni dio. U ovom je slučaju decimalni dio broja 715. Za svaki broj koji se nalazi u periodičnom dijelu, dodajte a 9 na početku nazivnika. Budući da periodični dio u ovom slučaju ima dva broja (15), u nazivniku će biti dva 9. Za svaki broj u decimalnom dijelu koji nije periodičan, dodati ćemo a 0 na kraju nazivnika, koji će biti 990.
Uskoro, generirajući razlomak desetine će biti:
Svojstva racionalnih brojeva
Između dva racionalna broja uvijek će postojati još jedan racionalni broj
Zanimljivo je razmišljati o tome kako je ovo svojstvo, o kojem su drevni narodi mnogo raspravljali, postalo paradoks. Odabirom dva racionalna broja, između njih će uvijek biti broj.
Primjer:
Između 1 i 2 postoji 1,5; između 1 i 1,5, postoji 1,25; između 1 i 1,25, postoji 1,125 i tako dalje. Koliko god odabrao dva racionalna broja s vrlo malom razlikom između njih, uvijek je moguće pronaći racionalni broj između njih. Ovo svojstvo čini nemoguće definirati nasljednika i prethodnika u racionalnim brojevima.
Četiri operacije na skupu racionalnih brojeva su zatvorene
Kažemo da je skup zatvoren za iznos, na primjer, ako zbroj dva racionalna broja uvijek generira drugi racionalni broj kao odgovor. To se događa s četiri operacije na Q.
THE zbrajanje, oduzimanje, dijeljenje i množenje između dva racionalna broja uvijek će rezultirati racionalnim brojem. U stvari, čak i potenciranje racionalnog broja uvijek će generirati racionalni broj kao odgovor.
Skup racionalnih brojeva nije zatvoreno za radikacije. Tako, mbudući da je 2 racionalan broj, kvadratni korijen 2 je a iracionalan broj.
Pogledajte i: Ekvivalentni razlomci - razlomci koji predstavljaju istu količinu
Podskupovi racionalnih brojeva
Mi znamo kako podskupovi ili relacija uključivanja skupovi koje čine elementi koji pripadaju skupu racionalnih brojeva. Postoji nekoliko mogućih podskupina, kao skup cijelih brojeva ili prirodno, jer je svaki cijeli broj racionalan, kao što je i svaki prirodni broj racionalan.
Primjer:
Skup cijelih brojeva: Z = {… -3, -2, -1, 0,1, 2, 3,…}.
Kad se to dogodi, mi to kažemo Z ⸦ Q (Čita se: Z je sadržan u Q ili je skup cjelovitih brojeva sadržan u skupu racionalnih brojeva.)
Postoje neki simboli koji su bitni za stvaranje podskupova Q, a to su: +, - i *, što znači pozitivni, negativni i ne-null.
Primjeri:
Q * → (glasi: skup racionalnih brojeva koji nisu nula.)
Q+ → (čita: skup pozitivnih racionalnih brojeva.)
Q- → (čita: skup negativnih racionalnih brojeva.)
Q*+ → (čita: skup pozitivnih i nenula racionalnih brojeva.)
Q*- → (čita: skup negativnih i nenula racionalnih brojeva.)
Imajte na umu da su svi ti skupovi podskupovi Q, jer svi elementi pripadaju skupu racionalnih brojeva. Uz predstavljene skupove, u Q možemo raditi s nekoliko podskupova, poput skupa koji čine neparni brojevi ili rođaci, ili parovi, konačno, postoji nekoliko i nekoliko mogućnosti podskupova.
Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm
