Mi znamo kako polinom izraz koji označava algebarski zbroj monoma koji nisu slični, odnosno polinom je jedan algebarski izraz između monoma. Monomium je algebarski pojam koji ima koeficijent i doslovni dio.
Kada postoje slični pojmovi između polinoma, moguće je izvesti smanjenje njezinih uvjeta sabiranje i / ili oduzimanje dva polinoma. Također je moguće množiti dva polinoma kroz distribucijsko svojstvo. Podjela se vrši metodom ključeva.
Pročitajte i vi: Jednadžba polinoma - Jednadžba koju karakterizira polinom jednak 0
Što su monomi?
Da bismo razumjeli što je polinom, važno je prvo razumjeti značenje monoma. Algebarski izraz poznat je kao monomij kad ima brojevi i slova i njihovi eksponenti odvojene samo množenjem. Broj je poznat kao koeficijent, a slova i njihovi eksponenti poznati su kao doslovni dio.
Primjeri:
2x² → 2 je koeficijent; x² je doslovni dio.
√5ax → √5 je koeficijent; sjekira je doslovni dio.
b³yz² → 1 je koeficijent; b³yz² je doslovni dio.
Što je polinom?
Polinom nije ništa drugo nego algebarski zbroj monoma, to jest oni su više monomi razdvojeni zbrajanjem ili oduzimanjem jedni od drugih.
Primjeri:
ax² + za + 3
5c³d - 4ab + 3c²
-2ab + b - 3xa
Općenito govoreći, polinom može imati nekoliko pojmova, algebarski ga predstavlja:
TheNexNe + the(n-1) x(n-1) +… +2x² + a1x + a
Pogledajte i: Koje su klase polinoma?
stupanj polinoma
Da bismo pronašli stupanj polinoma, razdvojimo ga u dva slučaja, kada ima jednu varijablu i kada ima više varijabli. Stupanj polinoma dat je znakom stupanj najvećeg od svojih monoma u oba slučaja.
Sasvim je uobičajeno raditi s polinomom koji ima samo jednu varijablu. Kad se to dogodi, O veći monomij stupanj što ukazuje na stupanj polinoma jednak je najvećem eksponentu varijable:
Primjeri:
Jednostruki varijabilni polinomi
a) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → imajte na umu da je varijabla x, a najveći eksponent koji ima 3, dakle, ovo je polinom stupnja 3.
b) 2 g5 + 4y² - 2y + 8 → varijabla je y, a najveći eksponent je 5, pa je ovo polinom stupnja 5.
Kad polinom ima više varijabli u monomu, potrebno je pronaći stupanj ovog pojma dodati-ako stupanj eksponenata svake od varijabli. Dakle, stupanj polinoma, u ovom je slučaju još uvijek jednak stupnju najvećeg monoma, ali potrebno je pripaziti da se dodaju eksponenti varijabli svakog monoma.
Primjeri:
a) 2xy + 4x²y³ - 5y4
Analizirajući doslovni dio svakog pojma, moramo:
xy → stupanj 2 (1 + 1)
x²y³ → stupanj 5 (2 + 3)
y³ → stupanj 3
Imajte na umu da najveći pojam ima stupanj 5, dakle, ovo je polinom stupnja 5.
b) 8a²b - ab + 2a²b²
Analizirajući doslovni dio svakog monumija:
a²b → stupanj 3 (2 + 1)
ab² → stupanj 2 (1 + 1)
a²b² → stupanj 4 (2 + 2)
Dakle, polinom ima stupanj 4.
Zbrajanje polinoma
Prema zbrajanje između dva polinoma, izvedimo smanjenje sličnih monoma. Dva su monoma slična ako imaju jednake doslovne dijelove. Kada se to dogodi, moguće je pojednostaviti polinom.
Primjer:
Neka je P (x) = 2x² + 4x + 3 i Q (x) = 4x² - 2x + 4. Pronađite vrijednost P (x) + Q (x).
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Pronalaženje sličnih pojmova (koji imaju iste doslovne dijelove):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Dodajmo sada slične monoma:
(2 + 4) x² + (4-2) x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Polinomsko oduzimanje
Oduzimanje se ne razlikuje puno od zbrajanja. Važan detalj je taj prvo moramo napisati suprotni polinom prije nego što provedemo pojednostavljenje sličnih pojmova.
Primjer:
Podaci: P (x) = 2x² + 4x + 3 i Q (x) = 4x² - 2x + 4. Izračunaj P (x) - Q (x).
Polinom -Q (x) suprotan je Q (x), da bismo pronašli suprotnost Q (x), samo preokrenimo predznak svakog od njegovih članova, tako da moramo:
-Q (x) = -4x² + 2x - 4
Tada ćemo izračunati:
P (x) + (-Q (x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
Pojednostavljujući slične pojmove, imamo:
(2 - 4) x² + (4 + 2) x + (3 - 4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x - 1
Množenje polinoma
Za izvođenje množenja dva polinoma koristimo se poznatim distribucijsko vlasništvo između dva polinoma, djelujući množenjem monoma prvog polinoma s onim drugog.
Primjer:
Neka su P (x) = 2a² + b i Q (x) = a³ + 3ab + 4b². Izračunaj P (x) · Q (x).
P (x) · Q (x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Primjenom distributivnog svojstva imat ćemo:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2.5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³
Ako postoje, možemo pojednostaviti slične pojmove:
2.5 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Imajte na umu da su jedini slični monomi označeni narančastom bojom, pojednostavnjujući ih, kao odgovor imat ćemo sljedeći polinom:
2.5 + (6 + 1) a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2.5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Također pristupite: Kako izvesti množenje razlomka algebarskih?
polinomska podjela
izvesti podjela polinoma može biti prilično naporan, koristimo ono što se naziva metoda tipki, ali postoji nekoliko metoda za to. Podjela dva polinoma moguće je samo ako je stupanj djelitelja manji. Dijeleći polinom P (x) s polinomom D (x), tražimo polinom Q (x), takav da:
Dakle, algoritmom podjele imamo: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
P (x) → dividenda
D (x) → razdjelnik
Q (x) → količnik
R (x) → ostatak
Prilikom izvođenja dijeljenja polinom P (x) djeljiv je s polinomom D (x) ako je ostatak nula.
Primjer:
Operirajmo dijeljenjem polinoma P (x) = 15x² + 11x + 2 s polinomom D (x) = 3x + 1.
Želimo podijeliti:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
1. korak: podijelili smo prvi monomij dividende s prvim djelitelja:
15x²: 3x = 5x
2. korak: pomnožimo 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x i oduzmemo rezultat P (x). Da biste izvršili oduzimanje, potrebno je obrnuti znakove rezultata množenja, pronalazeći polinom:
3. korak: izvodimo dijeljenje prvog člana oduzimanja rezultata s prvim članom djelitelja:
6x: 3x = 2
4. korak: dakle imamo (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Stoga moramo:
Q (x) = 5x + 2
R (x) = 0
Pročitajte i vi: Briot-Ruffinijev praktični uređaj - podjela polinoma
Riješene vježbe
Pitanje 1 - Kolika bi trebala biti vrijednost m tako da polinom P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m ima stupanj 2?
A) 3
B) -3
C) ± 3
D) 9
E) -9
Razlučivost
Alternativa A
Da bi P (x) imao stupanj 2, koeficijent x³ mora biti jednak nuli, a koeficijent x² mora se razlikovati od nule.
Tako ćemo učiniti:
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ± 3
S druge strane, imamo m + 3 ≠ 0.
Dakle, m ≠ -3.
Dakle, kao rješenje prve jednadžbe imamo m = 3 ili m = -3, međutim za drugu imamo m ≠ -3, pa je jedino rješenje zbog kojeg P (x) ima stupanj 2: m = 3.
Pitanje 2 - (IFMA 2017) Opseg slike može se zapisati polinomom:
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Razlučivost
Alternativa D
Iz slike, kada analiziramo danu duljinu i širinu, znamo da je opseg zbroj svih stranica. Budući da su duljina i visina jednaki, zbroj zadanih polinoma samo pomnožimo s 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
