A sferna kapa i geometrijsko tijelo dobiven kada je sfera presječena ravninom, dijeleći je na dva geometrijska tijela. Kuglasta kapica se smatra okruglim tijelom jer, kao i kugla, ima zaobljeni oblik. Za izračun površine i volumena kuglaste kapice koristimo posebne formule.
Pročitajte također: Trup stošca — geometrijsko tijelo koje formira dno stošca kada se napravi presjek paralelan s bazom
Sažetak o sfernoj kapici
- Sferna kapa je geometrijsko tijelo koje se dobije kad se kugla podijeli ravninom.
- Glavni elementi sferne kapice su polumjer sfere, polumjer sferne kape i visina sferne kape.
- Sferična kapica nije poliedar, već okruglo tijelo.
- Ako ravnina dijeli sferu na pola, sferna kapa tvori polukuglu.
- Moguće je izračunati radijus sferne kapice koristeći Pitagorin teorem, organiziran na sljedeći način:
\(\lijevo (R-h\desno)^2+r^2=R^2\)
- Površina sferne kapice može se izračunati pomoću formule:
\(A=2\pi rh\ \)
- Volumen sferne kapice može se izračunati pomoću sljedeće formule:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\lijevo (3r-h\desno)\)
Što je sferna kapa?
sferna kapa je geometrijsko tijelo dobiveno presjekom lopta uobičajen ravan. Kada sferu presiječemo ravninom, tu sferu podijelimo na dvije sferne kape. Kada sferu podijelimo na pola, sferna kapa je poznata kao hemisfera.
Elementi sferne kapice
U sfernoj kapici glavni elementi su polumjer sfere, polumjer sferne kapice i visina sferične kapice.
- R → radijus kugle.
- r → polumjer kuglaste kapice.
- h → visina kuglaste kapice.
Je li kuglasta kapica poliedar ili okruglo tijelo?
Vidimo da je kapa geometrijsko tijelo. Kako ima kružnu osnovu i zaobljenu površinu, sferna kapa se smatra a okruglo tijelo, koji je također poznat kao čvrsto tijelo revolucije. Vrijedno je spomenuti da je poliedar ima lica oblikovana od poligoni, što nije slučaj s kuglastom kapicom, koja ima bazu formiranu od a krug.
Kako izračunati polumjer sferne kapice?
Da biste izračunali duljinu polumjera sferne kapice, potrebno je znati duljinu visine h sferne kapice i duljinu polumjera R sfere., jer, kao što možemo vidjeti na sljedećoj slici, postoji Pitagorin odnos.
Imajte na umu da imamo a pravokutni trokut, trokut OO’B, s hipotenuzom R i katetama R – h i r. Primjenom Pitagorin poučak, Mi moramo:
\(\lijevo (R-h\desno)^2+r^2=R^2\)
Primjer:
Koliki je polumjer sferne kapice visine 2 cm, s obzirom da je polumjer sfere 5 cm?
rezolucija:
Primjenom Pitagorine relacije:
\(\lijevo (R-h\desno)^2+r^2=R^2\)
\(\lijevo (5-2\desno)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Kako izračunati površinu sferne kapice?
Da biste izračunali površinu sferne kapice, potrebno je poznavati mjerenje duljine polumjera R kugle i visine h kape. Formula koja se koristi za izračunavanje površine je:
\(A=2\pi Rh\)
- R → radijus kugle.
- h → visina kuglaste kapice.
Primjer:
Od kugle polumjera 6 cm i visine 4 cm dobivena je kugla. Dakle, koja je površina ove sferne kapice?
rezolucija:
Izračunavajući površinu sferne kapice, imamo:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
Kako izračunati volumen kuglaste kapice?
Volumen sferne kapice može se izračunati na dva načina. Prva formula ovisi o polumjeru R kugle i visini h:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\lijevo (3 R-h\desno)\)
Primjer:
Koliki je obujam sferne kapice dobivene iz kugle polumjera 8 cm čija je visina sferne kapice 6 cm?
rezolucija:
Budući da znamo vrijednost R i h, koristit ćemo prvu formulu.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\lijevo (3 R-h\desno)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\lijevo (3\cdot8-6\desno)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\lijevo (24-6\desno)\)
\(V=12\pi\lijevo (18\desno)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
Druga formula za volumen sferne kape uzima u obzir radijus sferne kape r i visinu kape h:
\(V=\frac{\pi h}{6}\lijevo (3r^2+h^2\desno)\)
Primjer:
Koliki je volumen kuglaste kapice polumjera 10 cm i visine 4 cm?
rezolucija:
U ovom slučaju imamo r = 10 cm i h = 4 cm. Kako znamo vrijednost polumjera sferne kapice i visinu, koristit ćemo drugu formulu:
\(V=\frac{\pi h}{6}\lijevo (3r^2+h^2\desno)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\lijevo (3{\cdot10}^2+4^2\desno)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\lijevo (3\cdot100+16\desno)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\lijevo (300+16\desno)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\lijevo (316\desno)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\približno 210,7\ \pi\ cm³\)
Vidi također: Deblo piramide — geometrijsko tijelo formirano od dna piramide kada se uzme presjek
Riješene vježbe na sfernoj kapi
Pitanje 1
(Enem) Za ukrašavanje dječjeg stola kuhar će koristiti kuglastu dinju promjera 10 cm koja će služiti kao nosač za nabadanje raznih slastica. On će skinuti kuglastu kapicu s dinje, kao što je prikazano na slici, i, kako bi zajamčio stabilnost ove potpore, kako bi se dinja otežala kotrljati po stolu, kuhar će rezati tako da radijus r kružnog presjeka bude najmanje minus 3 cm. S druge strane, šef će htjeti imati što više prostora u regiji gdje će slastice biti postavljene.
Da bi postigao sve svoje ciljeve, kuhar mora odrezati vrh dinje na visini h, u centimetrima, jednakoj
A) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
B)\( 10-\sqrt{91}\)
C) 1
D) 4
E) 5
rezolucija:
Alternativa C
Znamo da je promjer kugle 10 cm, pa je njezin polumjer 5 cm, pa je OB = 5 cm.
Ako je polumjer presjeka točno 3 cm, imamo:
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25 – 9
AO² = 16
AO = \(\sqrt{16}\)
AO = 4 cm
Stoga:
h + 4 = 5
h = 5 – 4
h = 1
pitanje 2
Kuglasta kapa ima površinu od 144π cm². Znajući da ima radijus od 9 cm, visina ove sferne kapice je:
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
D) 16 cm
E) 22 cm
rezolucija:
Alternativa A
Mi to znamo:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
Visina je 8 cm.
Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor matematike
Izvor: Brazilska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm